Нахождение обратной матрицы - задача, которая чаще решается двумя методами:
- методом алгебраических дополнений, при котором требуется находить определители и транспонировать матрицы;
- методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).
Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.
Обратной матрицей А , называется такая матрица
А
. (1)
Обратной матрицей , которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А , называется такая матрица
произведение на которую матрицы А
справа является единичной матрицей, т.е,
. (1)
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.
Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.
Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной , несингулярной ), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной , сингулярной ), если её определитель равен нулю.
Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.
Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным числом. Для каждого числа a , не равного нулю, существует такое число b , что произведение a и b равно единице: ab = 1 . Число b называется обратным для числа b . Например, для числа 7 обратным является число 1/7, так как 7*1/7=1.
Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений (союзной матрицы)
Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица
где - определитель матрицы А , а - матрица, союзная с матрицей А .
Союзной с квадратной матрицей A называется матрица того же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы , транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, если
то 
и 
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений
1. Найти определитель данной матрицы A . Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.
2. Найти матрицу, транспонированную относительно A .
3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.
4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A , на союзную матрицу, найденную на шаге 4.
5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.
Пример 1. Для матрицы
найти обратную матрицу.
Решение. Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А . Находим по правилу треугольников:
Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.
Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А .
Найдём матрицу , транспонированную относительно матрицы A :
Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы, транспонированной относительно матрицы A :
Следовательно, матрица , союзная с матрицей A , имеет вид
Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A , а затем транспонировать матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.
Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А :
Нахождение обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса
Первый шаг для нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса - приписать к матрице A единичную матрицу того же порядка, отделив их вертикальной чертой. Мы получим сдвоенную матрицу . Умножим обе части этой матрицы на , тогда получим
,
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса
1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.
2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.
2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.
Пример 2. Для матрицы
найти обратную матрицу.
и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.
Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим
.
Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим
.
Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим
.
Разделим третью строку на 8, тогда
.
Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:
.
Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:
.
Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица . Таким образом:
.
Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:
В результате должна получиться обратная матрица.
Пример 3. Для матрицы
найти обратную матрицу.
Решение. Составляем сдвоенную матрицу
и будем её преобразовывать.
Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим
.
Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим
.
Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.
Определение 1: матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.
Определение 2: матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.
Матрица "A" называется обратной матрицей , если выполняется условие A*A-1 = A-1 *A = E (единичной матрице).
Квадратная матрица обратима только в том случае, когда она является невырожденной.
Схема вычисления обратной матрицы:
1) Вычислить определитель матрицы "A", если ∆ A = 0, то обратной матрицы не существует.
2) Найти все алгебраические дополнения матрицы "A".
3) Составить матрицу из алгебраических дополнений (Aij )
4) Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений (Aij )T
5) Умножить транспонированную матрицу на число, обратное определителю данной матрицы.
6) Выполнить проверку:
На первый взгляд может показаться, что это сложно, но на самом деле всё очень просто. Все решения основаны на простых арифметических действиях, главное при решении не путаться со знаками "-" и "+", и не терять их.
А теперь давайте вместе с Вами решим практическое задание, вычислив обратную матрицу.
Задание: найти обратную матрицу "A", представленную на картинке ниже:
1. Первое, что нужно сделать, это найти определитель матрицы "A":
Пояснение:
Мы упростили наш определитель, воспользовавшись его основными функциями. Во первых, мы прибавили ко 2 и 3 строке элементы первой строки, умноженные на одно число.
Во-вторых, мы поменяли 2 и 3 столбец определителя, и по его свойствам поменяли знак перед ним.
В-третьих, мы вынесли общий множитель (-1) второй строки, тем самым, снова поменяв знак, и он стал положительным. Также мы упростили 3 строку также, как в самом начале примера.
У нас получилась треугольный определитель, у которого элементы ниже диагонали равны нулю, и по 7 свойству он равен произведению элементов диагонали. В итоге мы получили ∆ A = 26, следовательно обратная матрица существует.
А11 = 1*(3+1) = 4
А12 = -1*(9+2) = -11
А13 = 1*1 = 1
А21 = -1*(-6) = 6
А22 = 1*(3-0) = 3
А23 = -1*(1+4) = -5
А31 = 1*2 = 2
А32 = -1*(-1) = -1
А33 = 1+(1+6) = 7
3. Следующий шаг - составление матрицы из получившихся дополнений:
5. Умножаем эту матрицу на число, обратное определителю, то есть на 1/26:
6. Ну а теперь нам просто нужно выполнить проверку:
В ходе проверки мы получили единичную матрицу, следовательно, решение было выполнено абсолютно верно.
2 способ вычисления обратной матрицы.
1. Элементарное преобразование матриц
2. Обратная матрица через элементарный преобразователь.
Элементарное преобразование матриц включает:
1. Умножение строки на число, не равное нулю.
2. Прибавление к любой строке другой строки, умноженной на число.
3. Перемена местами строк матрицы.
4. Применяя цепочку элементарных преобразований, получаем другую матрицу.
А-1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A-1 )
2. A-1 * A = E
Рассмотрим это на практическом примере с действительными числами.
Задание: Найти обратную матрицу.
Решение:
Выполним проверку:
Небольшое разъяснение по решению:
Сперва мы переставили 1 и 2 строку матрицы, затем умножили первую строку на (-1).
После этого умножили первую строку на (-2) и сложили со второй строкой матрицы. После чего умножили 2 строку на 1/4.
Заключительным этапом преобразований стало умножение второй строки на 2 и прибавлением с первой. В результате слева у нас получилась единичная матрица, следовательно, обратная матрица - это матрица справа.
После проверки мы убедились в правильности решения.
Как вы видите, вычисление обратной матрицы - это очень просто.
В заключении данной лекции хотелось бы также уделить немного времени свойствам такой матрицы.
Матрица $A^{-1}$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.
Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.
Обратная матрица $A^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^{-1}$ существует, то она единственная.
Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части .
Метод присоединённой (союзной) матрицы
Пусть задана матрица $A_{n\times n}$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^{-1}$, требуется осуществить три шага:
- Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $\Delta A\neq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
- Составить алгебраические дополнения $A_{ij}$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_{n\times n}^{*}=\left(A_{ij} \right)$ из найденных алгебраических дополнений.
- Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$.
Матрицу ${A^{*}}^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.
Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (), третьего (), четвертого (). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части .
Пример №1
Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & -1 & -9 & 0 \end{array} \right)$.
Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $\Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $\Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.
Пример №2
Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right)$.
Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:
$$ \Delta A=\left| \begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Так как $\Delta A \neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения
\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_{12}=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_{21}=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_{22}=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end{aligned}
Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^{*}=\left(\begin{array} {cc} 8 & -9\\ -7 & -5 \end{array}\right)$.
Транспонируем полученную матрицу: ${A^{*}}^T=\left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, имеем:
$$ A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right) $$
Итак, обратная матрица найдена: $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A^{-1}\cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$, а в виде $-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$:
Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$.
Пример №3
Найти обратную матрицу для матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)$.
Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:
$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right| = 18-36+56-12=26. $$
Так как $\Delta A\neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:
Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:
$$ A^*=\left(\begin{array} {ccc} 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end{array} \right); \; {A^*}^T=\left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right) $$
Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, получим:
$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right) $$
Итак, $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A\cdot A^{-1}=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$, а в виде $\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)$:
Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.
Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$.
Пример №4
Найти матрицу, обратную матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end{array} \right)$.
Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.
Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу) . Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.
Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.
Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .
Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .
См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса
Алгоритм нахождения обратной матрицы
- Нахождение транспонированной матрицы A T .
- Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
- Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
- Определение алгебраических дополнений.
- Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.
Пример №1
. Запишем матрицу в виде:
Алгебраические дополнения.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:
| A -1 = 1 / 10 |
|
| A -1 = |
|
Другой алгоритм нахождения обратной матрицы
Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.- Находим определитель данной квадратной матрицы A .
- Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
- Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
- Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .
Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .
Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка
Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.
Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:
Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.
Теорема условия существования обратной матрицы
Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
- Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
- Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
- Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
- Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.
Для матрицы А найти обратную матрицу А -1
Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.
Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .
В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.
Ответ: 
Решение матричных уравнений
Матричные уравнения могут иметь вид:
АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.
Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.
Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.
Аналогично решаются другие уравнения.
Решить уравнение АХ = В, если 
Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)
Матричный метод в экономическом анализе
Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.
В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.
На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .
На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.
После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .
На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.
На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.
Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.