Цель урока: ввести уравнение окружности, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.
Оборудование : интерактивная доска.
План урока:
- Организационный момент – 3 мин.
- Повторение. Организация мыслительной деятельности – 7 мин.
- Объяснение нового материала. Вывод уравнения окружности – 10 мин.
- Закрепление изученного материала– 20 мин.
- Итог урока – 5 мин.
Ход урока
2. Повторение:
− (Приложение1 Слайд 2 ) записать формулу нахождения координат середины отрезка;
− (Слайд 3) З аписать формулу расстояние между точками (длины отрезка).
3. Объяснение нового материала.
(Слайды 4 – 6) Дать определение уравнения окружности. Вывести уравнения окружности с центром в точке (а ;b ) и с центром в начале координат.
(х – а ) 2 + (у – b ) 2 = R 2 − уравнение окружности с центром С (а ;b ) , радиусом R , х и у – координаты произвольной точки окружности.
х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат.
(Слайд 7)
Для того чтобы составить уравнение окружности, надо:
- знать координаты центра;
- знать длину радиуса;
- подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности.
4. Решение задач.
В задачах № 1 – № 6 составить уравнения окружности по готовым чертежам.
(Слайд 14)
№ 7. Заполнить таблицу.
(Слайд 15)
№ 8. Построить в тетради окружности, заданные уравнениями:
а) (х
– 5) 2 + (у
+ 3) 2 = 36;
б
) (х
+ 1) 2 + (у
– 7) 2 = 7 2 .
(Слайд 16)
№ 9. Найти координаты центра и длину радиуса, если АВ – диаметр окружности.
| Дано: | Решение: | ||
| R | Координаты центра | ||
| 1 | А
(0 ; -6) В (0 ; 2) |
АВ
2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; АВ 2 = 64; АВ = 8 . |
А
(0; -6) В (0 ; 2) С (0 ; – 2) – центр |
| 2 | А
(-2 ; 0) В (4 ; 0) |
АВ
2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; АВ 2 = 36; АВ = 6. |
А
(-2;0) В (4 ;0) С (1 ; 0) – центр |
(Слайд 17)
№ 10. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку К (-12;5).
Решение.
R 2 = ОК
2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R =
13;
Уравнение окружности: х 2 + у 2 = 169.
(Слайд 18)
№ 11. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С (3; - 1).
Решение.
R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Уравнение окружности: (х – 3) 2 + (у + 1) 2 = 10.
(Слайд 19)
№ 12. Составьте уравнение окружности с центром А (3;2), проходящей через В (7;5).
Решение.
1. Центр окружности – А
(3;2);
2. R
= АВ
;
АВ
2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ
= 5;
3. Уравнение окружности (х
– 3) 2 + (у
− 2) 2
= 25.
(Слайд 20)
№ 13. Проверьте, лежат ли точки А (1; -1), В (0;8), С (-3; -1) на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
Решение.
I . Подставим координаты точки А (1; -1) в уравнение окружности:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенство неверно, значит А
(1; -1) не лежит
на
окружности, заданной уравнением (х
+ 3) 2 +
(у
−
4) 2 =
25.
II . Подставим координаты точки В (0;8) в уравнение окружности:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
В
(0;8) лежит
х
+ 3) 2 +
(у
− 4) 2
=
25.
III. Подставим координаты точки С (-3; -1) в уравнение окружности:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит С
(-3; -1) лежит
на окружности,
заданной уравнением (х
+ 3) 2 +
(у
− 4) 2
=
25.
Итог урока.
- Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.
- (Слайд 21) Домашнее задание.
Пусть
окружность имеет радиус
,
а ее центр находится в точке
.
Точка
лежит на окружности тогда и только
тогда, когда модуль вектора
равен
,
то есть.
Последнее равенство выполнено тогда и
только тогда, когда
Уравнение (1) и является искомым уравнением окружности.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору
перпендикулярно вектору
.
Точка
и
перпендикулярны. Векторы
и
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно
нулю, то есть
.
Используя формулу вычисления скалярного
произведения векторов, заданных своими
координатами, уравнение искомой прямой
записываем в виде
Рассмотрим пример. Найти уравнение прямой, проходящей через
середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку если координаты точек соответственно равны А(1;6), В(5;4).
Будем
рассуждать следующим образом. Чтобы
найти уравнение прямой мы должны знать
точку, через которую эта прямая проходит,
и вектор перпендикулярный этой прямой.
Вектором, перпендикулярным данной
прямой, будет вектор
,
поскольку, по условию задачи, прямая
перпендикулярна отрезку АВ. Точку
определим
из условия, что прямая проходит через
середину АВ. Имеем
.
Таким образом
и уравнение примет вид.
Выясним вопрос, проходит ли эта прямая через точку М(7;3).
Имеем , значит, эта прямая не проходит через указанную точку.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору
Пусть
прямая проходит через точку
параллельно вектору
.
Точка
лежит на прямой тогда и только тогда,
когда векторы
и
колинеарны. Векторы
и
колинеарны тогда и только тогда, когда
их координаты пропорциональны, то есть
(3)
Полученное уравнение и является уравнением искомой прямой.
Уравнение (3) представим в виде
,
где
принимает любые значения
.
Следовательно, можем записать
,
где
(4)
Система уравнений (4) называется параметрическими уравнениями прямой.
Рассмотрим
пример.
Найти
уравнение прямой, проходящей через
точки
.
Мы можем построить уравнение прямой,
если знаем точку и параллельный или
перпендикулярный ей вектор. Точек в
наличии целых две. Но если две точки
лежат на прямой, то вектор, их соединяющий
будет параллелен этой прямой. Поэтому
воспользуемся уравнением (3), взяв в
качестве вектора
вектор
.
Получаем
(5)
Уравнение (5) называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки.
Общее уравнение прямой
Определение.
Общим
уравнением линии первого порядка на
плоскости называется уравнение вида
,
где
.
Теорема. Всякая прямая на плоскости может быть задана в виде уравнения линии первого порядка, и всякое уравнение линии первого порядка является уравнением некоторой прямой на плоскости.
Первая
часть этой теоремы доказывается просто.
На всякой прямой можно указать некоторую
точку
перпендикулярный
ей вектор
.
Тогда, согласно (2), уравнение такой
прямой имеет вид.
Обозначим
.
Тогда уравнение примет вид
.
Теперь
перейдем ко второй части теоремы. Пусть
имеется уравнение
,
где
.
Будем считать для определенности
.
Перепишем уравнение в виде:
;
Рассмотрим
на плоскости точку
,
где
.
Тогда полученное уравнение имеет вид
,
и является уравнением прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно вектору
.
Теорема доказана.
В процессе доказательства теоремы мы попутно доказали
Утверждение.
Если имеется уравнение прямой вида
,
то вектор
перпендикулярен данной прямой.
Уравнение
вида
называется общим уравнением прямой на
плоскости.
Пусть
имеется прямая
и точка
.
Требуется определить расстояние от
указанной точки до прямой.
Рассмотрим
произвольную точку
на прямой. Имеем
.
Расстояние
от точки
до прямой равно модулю проекции вектора
на вектор
,
перпендикулярный данной прямой. Имеем
,
преобразуя, получаем формулу:
Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями
,
. Тогда векторы
перпендикулярны первой и второй прямой
соответственно. Угол
между прямыми равен углу между векторами
,
.
Тогда формула для определения угла между прямыми имеет вид:
.
Условие перпендикулярности прямых имеет вид:
.
Прямые
параллельны или совпадают тогда и только
тогда, когда векторы
колинеарны. При этомусловие
совпадения прямых имеет вид
:
,
а
условие отсутствия пересечения
записывается в виде:
.
Последние два условия докажите
самостоятельно.
Исследуем характер поведения прямой по ее общему уравнению.
Пусть
дано общее уравнение прямой
.
Если
,
то прямая проходит через начало координат.
Рассмотрим
случай, когда ни один из коэффициентов
не равен нулю
.
Уравнение перепишем в виде:
,
,
Где
.
Выясним смысл параметров
.
Найдем точки пересечения прямой с осями
координат. При
имеем
,
а при
имеем
.
То есть
- это отрезки, которые отсекает прямая
на координатных осях.Поэтому
уравнение
называется
уравнением прямой в отрезках.
В
случае
имеем
.
В случае
имеем
.
То есть прямая будет параллельна оси
.
Напомним,
что угловым
коэффициентом прямой
называется тангенс угла наклона этой
прямой к оси
.
Пусть прямая отсекает на оси
отрезок
и имеет угловой коэффициент
.
Пусть точка
лежит на данной
Тогда
=
=
.
И уравнение прямой запишется в виде
.
Пусть
прямая проходит через точку
и имеет угловой коэффициент
.
Пусть точка
лежит на этой прямой.
Тогда
=
.
Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом.
Пусть
даны две прямые
,
.
Обозначим
- угол между ними. Пусть
,
углы наклона к оси Х соответствующих
прямых
Тогда
=
,
.
Тогда
условие параллельности прямых имеет
вид
,
а условие перпендикулярности
В заключение рассмотрим две задачи.
Задача . Вершины треугольника АВС имеют координаты: A(4;2), B(10;10), C(20;14).
Найти: а) уравнение и длину медианы, проведенной из вершины А;
б) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины А;
в) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины А;
Определим уравнение медианы АМ.
Точка М() середина отрезка ВС.
Тогда
,
.
Следовательно, точка М имеет координаты
M(15;17).
Уравнение медианы на языке аналитической
геометрии это уравнение прямой, проходящей
через точку А(4;2) параллельно вектору
={11;15}.
Тогда уравнение медианы имеет вид.
Длина медианы АМ=
.
Уравнение высоты AS - это уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) перпендикулярно вектору ={10;4}. Тогда уравнение высоты имеет вид 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.
Длина
высоты - это расстояние от точки А(4;2) до
прямой ВС. Данная прямая проходит через
точку B(10;10)
параллельно вектору
={10;4}.
Ее уравнение имеет вид
,
2x-5y+30=0.
Расстояние AS
от точки А(4;2) до прямой ВС, следовательно,
равно AS=
.
Для определения уравнения биссектрисы найдем вектор параллельный этой прямой. Для этого воспользуемся свойством диагонали ромба. Если от точки А отложить единичные векторы одинаково направленные с векторамии, то вектор, равный их сумме, будет параллелен биссектрисе. Тогда имеем=+.
={6;8},
,
={16,12},
.
Тогда
=
В качестве направляющего вектора искомой
прямой может служить вектор={1;1},
коллинеарный данному. Тогда уравнение
искомой прямой имеет видилиx-y-2=0.
Задача. Река протекает по прямой линии, проходящей через точки А(4;3) и В(20;11). В точке С(4;8) живет Красная Шапочка, а в точке D(13;20) ее бабушка. Каждое утро Красная Шапочка берет пустое ведро из дома, идет на реку, черпает воду и относит ее бабушке. Найти самую короткую дорогу для Красной Шапочки.
Найдем точку Е, симметричную бабушке, относительно реки.
Для этого сначала найдем уравнение прямой, по которой течет река. Это уравнение можно рассматривать, как уравнение прямой, проходящей через точку А(4;3) параллельно вектору . Тогда уравнение прямой АВ имеет вид.
Далее
найдем уравнение прямой DE,
проходящей через точку D
перпендикулярно АВ. Его можно рассматривать,
как уравнение прямой, проходящей через
точку D,
перпендикулярно вектору
.
Имеем
Теперь найдем точку S - проекцию точки D на прямую АВ, как пересечение прямых АВ и DE. Имеем систему уравнений
.
Следовательно, точка S имеет координаты S(18;10).
Поскольку S середина отрезка DE, то .
Аналогично .
Следовательно, точка Е имеет координаты Е(23;0).
Найдем уравнение прямой СЕ, зная координаты двух точек этой прямой
Точку М найдем как пересечение прямых АВ и СЕ.
Имеем систему уравнений
.
Следовательно,
точка М имеет координаты
.
Тема 2. Понятие об уравнении поверхности в пространстве. Уравнение сферы. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости и его исследование Условие параллельности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Понятие об уравнении линии. Прямая линия в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Вначале, дадим определение понятия уравнения поверхности в пространстве.
Пусть
в
пространстве
задана некотораяповерхность
.
Уравнение
называется уравнениемповерхности
,
если выполнены два условия:
1.для
любой точки
с координатами
,
лежащей наповерхности,
выполнено
,
то есть ее координаты удовлетворяют
уравнениюповерхности;
2.
любая точка
,
координаты которой удовлетворяют
уравнению
,
лежит на линии.
Уравнение линии на плоскости
Введем для начала понятие уравнения линии в двумерной системе координат. Пусть в декартовой системе координат построена произвольная линия $L$ (Рис. 1).
Рисунок 1. Произвольная линия в системе координат
Определение 1
Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии $L$ и не удовлетворяет ни одна точка, не принадлежащая линии $L.$
Уравнение окружности
Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ -- произвольная точка этой окружности (рис. 2).
Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат
Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом
Но, так как $M$ лежит на окружности, то получаем $CM=r$. Тогда получим следующее
Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.
В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид
Уравнение прямой.
Выведем уравнение прямой $l$ в декартовой системе координат $xOy$. Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно, причем точки $A$ и $B$ выбраны так, что прямая $l$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Выберем произвольную точку $M=\{x,y\}$, принадлежащую прямой $l$ (рис. 3).
Так как прямая $l$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, то точка $M$ равноудалена от концов этого отрезка, то есть $AM=BM$.
Найдем длины данных сторон по формуле расстояния между точками:
Следовательно
Обозначим через $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c={x_2}^2+{y_2}^2-{x_1}^2-{y_1}^2$, Получаем, что уравнение прямой в декартовой системе координат имеет следующий вид:
Пример задачи на нахождение уравнений линий в декартовой системе координат
Пример 1
Найти уравнение окружности с центром в точке $(2,\ 4)$. Проходящей через начало координат и прямую, параллельную оси $Ox,$ проходящей через её центр.
Решение.
Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать общее уравнение окружности (выведенное выше). Так как центр окружности лежит в точке $(2,\ 4)$, получим
\[{(x-2)}^2+{(y-4)}^2=r^2\]
Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(2,\ 4)$ до точки $(0,0)$
Получаем, уравнение окружности имеет вид:
\[{(x-2)}^2+{(y-4)}^2=20\]
Найдем теперь уравнение окружности, используя частный случай 1. Получим