Замкнутость действий на множестве натуральных чисел. Понятие счетного множества. Теория вещественных чисел. Метрические пространства и непрерывные отображения

Пусть даны два множества X и Y, совпадающие или нет.

Определение. Множество упорядоченных пар элементов, из которых первый принадлежит X, а второй Y, называется декартовым произведением множеств и обозначается .

Пример. Пусть
,
, тогда

.

Если
,
, тогда
.

Пример. Пусть
, где R – множество всех вещественных чисел. Тогда
есть множество всех декартовых координат точек плоскости.

Пример. Пусть
– некоторое семейство множеств, тогда декартовым произведением этих множеств называется множество всех упорядоченных строк длины n:

Если , то. Элементы из
– это векторы-строки длины n.

Алгебраические структуры с одной бинарной операцией

1 Бинарные алгебраические операции

Пусть
– произвольное конечное или бесконечное множество.

Определение. Бинарной алгебраической операцией (внутренним законом композиции ) на
называется произвольное, но фиксированное отображение декартова квадрата
в
, т.е.

(1)

(2)

Таким образом, любой упорядоченной паре

. Тот факт, что
, записывается символически в виде
.

Как правило, бинарные операции обозначаются символами
и т.д. Как и ранее, операция
означает «сложение», а операция «» – «умножение». Они различаются формой записи и, возможно, аксиомами, что будет ясно из контекста. Выражение
будем называть произведением, а
– суммой элементови.

Определение. Множество
называется замкнутым относительно операции, если для любых .

Пример. Рассмотрим множество целых неотрицательных чисел
. В качестве бинарных операций на
будем рассматривать обычные операции сложения
и умножения. Тогда множества
,
будут замкнуты относительно этих операций.

Замечание. Как следует из определения, задание алгебраической операции * на
, эквивалентно замкнутости множества
относительно этой операции. Если оказывается, что множество
не замкнуто относительно заданной операции *, то в этом случае говорят, что операция * не алгебраическая. Например, операция вычитания на множестве натуральных чисел не алгебраическая.

Пусть
и
два множества.

Определение. Внешним законом композиции на множестве называется отображение

, (3)

т.е. закон, посредством которого любому элементу
и любому элементу
ставится в соответствие элемент
. Тот факт, что
, обозначается символом
или
.

Пример. Умножение матрицы
на число
является внешним законом композиции на множестве
. Умножение чисел в
можно рассматривать и как внутренний закон композиции, и как внешний.

дистрибутивным относительно внутреннего закона композиции * в
, если

Внешний закон композиции называется дистрибутивным относительно внутреннего закона композиции * в Y, если

Пример. Умножение матрицы
на число
дистрибутивно как относительно сложения матриц, так и относительно сложения чисел, т.к.,.

1. Свойства бинарных операций

Бинарная алгебраическая операция  на множестве
называется:

Замечание. Свойства коммутативности и ассоциативности независимы.

Пример. Рассмотрим множество целых чисел . Операцию на определим в соответствии с правилом
. Выберем числа
и выполним операцию над этими числами:

т.е. операция  коммутативна, но не ассоциативна.

Пример. Рассмотрим множество
– квадратных матриц размерности
с вещественными коэффициентами. В качестве бинарной операции * на
будем рассматривать операции умножения матриц. Пусть
, тогда
, однако
, т.е. операция умножения на множестве квадратных матриц ассоциативна, но не коммутативна.

Определение. Элемент
называетсяединичным или нейтральным относительно рассматриваемой операции  на
, если

Лемма. Если – единичный элемент множества
, замкнутого относительно операции *, то он единственный.

Доказательство . Пусть – единичный элемент множества
, замкнутого относительно операции *. Предположим, что в
существует ещё один единичный элемент
, тогда
, так как– единичный элемент, и
, так как– единичный элемент. Следовательно,
– единственный единичный элемент множества
.

Определение. Элемент
называетсяобратным или симметричным к элементу
, если

Пример. Рассмотрим множество целых чисел с операцией сложения
. Элемент
, тогда симметричным элементом
будет элемент
. Действительно,.

Одна из основных задач теории точечных множеств - изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым , если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым , если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств .

Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал (a, b) - открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты , а несобственные интервалы и открыты . Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек.

Множество, состоящее из точек:

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку x=0, которая принадлежит множеству.

Основная задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

• 1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.
• 2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.
• 3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

Пусть E - произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества E и обозначим через CE множество всех точек па прямой, не принадлежащих множеству E. Ясно, что если x есть внешняя точка для E, то она является внутренней точкой для множества CE и обратно.

4. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть F - замкнутое множество. Интервал (a, b), обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству F, а точки a и b принадлежат F, называется смежным интервалом множества F.

К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или, если точка a или точка b принадлежит множеству F, а сами интервалы с F не пересекаются. Покажем, что если точка x не принадлежит замкнутому множеству F, то она принадлежит одному из его смежных интервалов.

Обозначим через часть множества F, расположенную правее точки x. Так как сама точка x не принадлежит множеству F, то можно представить в форме пересечения:

Каждое из множеств F и замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал не принадлежит множеству F. Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале, то оно ограничено снизу. Обозначим через b его нижнюю грань. Согласно предложению 3, а значит. Далее, так как b есть нижняя грань множества, то полуинтервал (x, b), лежащий левее точки b, не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества F. Итак, мы построили полуинтервал (x, b), не содержащий точек множества F, причем либо, либо точка b принадлежит множеству F. Аналогично строится полуинтервал (a, x), не содержащий точек множества F, причем либо, либо. Теперь ясно, что интервал (a, b) содержит точку x и является смежным интервалом множества F. Легко видеть, что если и - два смежных интервала множества F, то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества F. Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой - счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов не более чем счётно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Типы множеств вещественной прямой

Положение точки относительно множества A

Односторонние окрестности

Топология вещественной прямой

Числовые множества

Основные множества чисел это отрезок и интервал (a; b).

Числовое множество A называется ограниченным сверху , если существует такое число M, что a £ M для любого a Î A. Число M в этом случае называется верхней гранью или мажорантой множества.

Супремумом множества A, sup A называется …

… наименьшая из его мажорант;

… число M такое, что a £ M для любого a Î A и в любой окрестности M есть элемент множества A;

Аналогично вводятся понятия «ограниченное снизу », «миноранта » (нижняя грань), и «инфимум » (точная нижняя грань).

Полнота вещественной прямой (равносильные формулировки)

1. Свойство вложенных отрезков. Пусть заданы отрезки É É … É É … Они имеют хотя бы одну общую точку. Если длины отрезков можно выбрать сколь угодно малыми, то такая точка единственна.

Следствие: метод дихотомии для теорем существования . Пусть задан отрезок . Делим его пополам и выбираем одну из половин (так, чтобы она обладала нужным свойством). Эту половину обозначим через . Продолжаем этот процесс неограниченно. Получим систему вложенных отрезков, длины которых приближаются к 0. Значит, они имеют ровно одну общую точку. Осталось доказать, что она и будет искомой.

2. Для любого непустого ограниченного сверху множества существует супремум.

3. Для любых двух непустых множеств, одно из которых лежит левее другого, существует разделяющая их точка (существование сечений).

Окрестности:

U(x) = (a, b), a < x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;

U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;

U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).

Проколотые окрестности:

Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ {x}; Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ {x}

Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = }