Модель лоренца. Реферат по математике на тему "аттрактор лоренца". История теории хаоса

фрактал множество жюлиа аттрактор

До настоящего момента мы изучали фракталы, которые являются статическими фигурами. Наш подход вполне приемлем до тех пор, пока не возникает необходимость рассмотрения таких природных явлений, как падающие потоки воды, турбулентные завихрения дыма, метеосистемы и потоки на выходе реактивных двигателей. В этих случаях один-единственный фрактал соответствует моментальному снимку данного феномена. Структуры, изменяющиеся во времени, мы определяем как динамические системы. Интуитивно понятно, что динамической противоположностью фрактала является хаос. Это означает, что хаос описывает состояние крайней непредсказуемости, возникающей в динамической системе, в то время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации.

Достаточно скоро стало ясно, что многие хаотические динамические системы, описывающие феномены окружающего нас мира, устроены очень сложно и не могут быть представлены традиционными методами математического анализа. По-видимому, нет никакой возможности получить математические выражения для решений в замкнутом виде, даже если использовать бесконечные ряды или специальные функции.

Рассмотрим знаменитый пример, весьма наглядно демонстрирующий, что стоит за термином «хаотическая динамика». Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере Исследование аттрактора Лоренца включается сейчас в любой

математический пакет, например, Mathematica, Maple.. Он написал программу для решения следующей системы дифференциальных уравнений:

dx/dt = (-x + y),

dy/dt = rx - y - xz,

dz/dt = -bz + xy.

В дальнейших расчетах параметры, r и b постоянны и принимают значения = -10, r = 28 и b = 8/3.

Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени. Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Но самое неожиданное было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое

Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру), прежде чем осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий --- основной чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды. Сам Лоренц разъяснил это понятие в статье «Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в Техасе?», опубликованной в 1979 году

Несмотря на большую значимость эксперимента Лоренца, в данной курсовой работе не будут рассматриваться модели, связанные с динамическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. Напротив, мы будем рассматривать наиболее простые модели хаотической динамики --- дискретные, к которым относится знаменитое и вездесущее множество Мандельброта и сопутствующие ему множества Жюлиа.

Рис. 4.1.1. Аттрактор Лоренца.

Наиболее часто встречающееся несоответствие состоит в том, что люди полагают, что теория хаоса -- это теория о беспорядке. Ничто не могло бы быть так далеко от истины! Это не опровержение детерминизма и не утверждение о том, что упорядоченные системы невозможны; это не отрицание экспериментальных подтверждений и не заявление о бесполезности сложных систем. Хаос в теории хаоса и есть порядок -- и даже не просто порядок, а сущность порядка.

Это правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут породить огромные последствия. Но одной из центральных концепций в теории является невозможность точного предсказания состояния системы. В общем, задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы -- наследственной непредсказуемости системы -- а на унаследованном ей порядке -- общем в поведении похожих систем.

Таким образом, было бы неправильным сказать, что теория хаоса о беспорядке. Чтобы пояснить это на примере, возьмем аттрактор Лоренца (ри.1). Он основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях.

Аттрактор представляет поведение газа в любое заданное время, и его состояние в определенный момент зависит от его состояния в моменты времени, предшествовавшие данному. Если исходные данные изменить даже на очень маленькие величины, скажем, эти величины малы настолько, что соизмеримы с колебаниями числа Авогадро (очень маленькое число порядка 1024), проверка состояния аттрактора покажет абсолютно другие числа. Это происходит потому, что маленькие различия увеличиваются в результате рекурсии.

Однако, несмотря на это, график аттрактора будет выглядеть достаточно похоже. Обе системы будут иметь абсолютно разные значения в любой заданный момент времени, но график аттрактора останется тем же самым, т.к. он выражает общее поведение системы.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время, теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы -- в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается, в то же время, наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах.

И все траектории из некоторой окрестности texvc стремятся к Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): L при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): t\to\infty (отсюда название).

Аттрактор Лоренца был найден в численных экспериментах Лоренца , исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \begin{cases} \dot x = \sigma (y - x) \\ \dot y = x (r - z) - y \\ \dot z = x y - b z \end{cases}

при следующих значениях параметров: σ=10, r =28, b =8/3, x(0)=1, y(0)=0, z(0)=0. Эта система вначале была введена как первое нетривиальное галёркинское приближение для задачи о конвекции морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b , но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:

конвекция в замкнутой петле;
вращение водяного колеса;
модель одномодового лазера ;
диссипативный гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью.

Исходная гидродинамическая система уравнений:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \begin{cases} \frac { \partial \vec v }{\partial t} + \left(\vec v \nabla \right) \vec v = -\frac {\nabla p}{\rho} + \nu \nabla ^2 \vec v + \vec g \\ \frac { \partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho \vec v \right) = 0 \\ \frac { \partial T }{\partial t} + \nabla \cdot \left(T \vec v \right) = \chi \nabla ^2 T \\ \rho = \rho_0 \left(1 - \gamma \left(T - T_0 \right) \right) \end{cases},

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \vec v - скорость течения, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T - температура жидкости, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_0 - температура верхней границы (на нижней поддерживается Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_0 + \Delta T ), Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \rho - плотность, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p - давление, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \vec g - сила тяжести, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \gamma,\ \chi,\ \nu - соответственно коэффициент теплового расширения , коэффициент температуропроводности и кинематической вязкости .

В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений гидродинамики записывается в приближении Буссинеска . Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник .

Применимость и соответствие реальности

Обозначим физический смысл переменных и параметров в системе уравнений применительно к упомянутым задачам.

Конвекция в плоском слое. Здесь x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z - за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r - нормированное число Рэлея , σ - число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.
Конвекция в замкнутой петле. Здесь x - скорость течения, y - отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на 90°, z - то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.
Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.
Одномодовый лазер. Здесь x - амплитуда волн в резонаторе лазера, y - поляризация , z - инверсия населённостей энергетических уровней , b и σ - отношения коэффициентов релаксации инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r - интенсивность накачки .

Стоит указать, что применительно к задаче о конвекции модель Лоренца является очень грубым приближением, весьма далёким от реальности. Более-менее адекватное соответствие существует в области регулярных режимов, где устойчивые решения качественно отображают экспериментально наблюдаемую картину равномерно вращающихся конвективных валов (Ячейки Бенара). Хаотический режим, присущий модели, не описывает турбулентной конвекции в силу существенной обрезки исходных тригонометрических рядов.

Интересным является существенно большая точность модели при некоторой её модификации, применяемая в частности для описания конвекции в слое, подвергаемом вибрации в вертикальном направлении либо переменному тепловому воздействию. Такие изменения внешних условий приводят к модулированию коэффициентов в уравнениях. При этом высокочастотные Фурье-компоненты температуры и скорости существенно подавляются, улучшая соответствие модели Лоренца и реальной системы.

Примечательно везение Лоренца при выборе значения параметра Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r , так как система приходит к странному аттрактору только при значениях, больших 24,74, при меньших поведение оказывается совершенно иным.

Поведение решения системы

Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r. На иллюстрациях к статье приведены результаты численного моделирования для точек с начальными координатами (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирование производилось с помощью приведённой ниже программы, написанной на языке Фортран , построение графиков по полученным таблицам - из-за слабых графических возможностей Фортрана с помощью Compaq Array Viewer.

r load(draw)$ draw3d(point_size=0.01, points_joined=true, point_type=filled_circle,points(x,y,z))$
Напишите отзыв о статье "Аттрактор Лоренца"Примечания Литература
- Кузнецов С. П. , Лекция 3. Система Лоренца; Лекция 4. Динамика системы Лоренца. // - М.: Физматлит, 2001.
- Saltzman B . Finite amplitude free convection as an initial value problem. // Journal of the atmospheric science, № 7, 1962 - p. 329-341.
- Лоренц Э . Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. - М., 1981. - С. 88-116.
См. также Отрывок, характеризующий Аттрактор Лоренца– Ну, конечно же, об этом упоминалось, Изидора! Да и не только упоминалось... Лучшие художники когда-то рисовали картины, изображая Магдалину, гордо ждущую своего наследника. Только мало что от этого осталось, к сожалению. Церковь не могла допустить такого «скандала», так как это никак не вписывалось в создаваемую ею «историю»... Но кое-что всё же осталось до сих пор, видимо по недосмотру или невнимательности власть имущих, Думающих Тёмных...
– Как же они могли допустить такое? Я всегда думала, что Думающие Тёмные достаточно умны и осторожны? Это ведь могло помочь людям увидеть ложь, преподносимую им «святыми» отцами церкви. Разве не так?
– Задумался ли кто-то, Изидора?.. – Я грустно покачала головой. – Вот видишь... Люди не доставляют им слишком большого беспокойства...
– Можешь ли ты показать мне, как она учила, Север?..
Я, как дитя, спешила задавать вопросы, перескакивая с темы на тему, желая увидеть и узнать как можно больше за отпущенное мне, уже почти полностью истёкшее, время...
И тут я снова увидела Магдалину... Вокруг неё сидели люди. Они были разного возраста – молодые и старые, все без исключения длинноволосые, одетые в простые тёмно-синие одежды. Магдалина же была в белом, с распущенными по плечам волосами, покрывавшими её чудесным золотым плащом. Помещение, в котором все они в тот момент находились, напоминало произведение сумасшедшего архитектора, воплотившего в застывшем камне свою самую потрясающую мечту...
Как я потом узнала, пещера и вправду называется – Кафедральная (Сathedral) и существует до сих пор.
Пещеры Лонгрив (Longrives), Languedoc
Это была пещера, похожая на величественный кафедральный собор... который, по странной прихоти, зачем-то построила там природа. Высота этого «собора» достигала невероятных размеров, уносясь прямо «в небо» удивительными, «плачущими» каменными сосульками, которые, где-то наверху слившись в чудотворный узор, снова падали вниз, зависая прямо над головами сидящих... Природного освещения в пещере, естественно, не было. Также не горели и свечи, и не просачивался, как обычно, в щели слабый дневной свет. Но несмотря на это, по всему необычному «залу» мягко разливалось приятное и равномерное золотистое сияние, приходившее неизвестно откуда и позволявшее свободно общаться и даже читать...
Сидящие вокруг Магдалины люди очень сосредоточенно и внимательно наблюдали за вытянутыми вперёд руками Магдалины. Вдруг между её ладонями начало появляться яркое золотое свечение, которое, всё уплотняясь, начало сгущаться в огромный голубоватый шар, который на глазах упрочнялся, пока не стал похожим на... планету!..
– Север, что это?.. – удивлённо прошептала я. – Это ведь наша Земля, не так ли?
Но он лишь дружески улыбнулся, не отвечая и ничего не объясняя. А я продолжала завороженно смотреть на удивительную женщину, в руках которой так просто и легко «рождались» планеты!.. Я никогда не видела Землю со стороны, лишь на рисунках, но почему-то была абсолютно уверена, что это была именно она. А в это время уже появилась вторая планета, потом ещё одна... и ещё... Они кружились вокруг Магдалины, будто волшебные, а она спокойно, с улыбкой что-то объясняла собравшимся, вроде бы совершенно не уставая и не обращая внимания на удивлённые лица, будто говорила о чём-то обычном и каждодневном. Я поняла – она учила их астрономии!.. За которую даже в моё время не «гладили» по голове, и за которую можно было ещё всё так же легко угодить прямиком в костёр... А Магдалина играючи учила этому уже тогда – долгих пятьсот лет тому назад!!!
Видение исчезло. А я, совершенно ошеломлённая, никак не могла очнуться, чтобы задать Северу свой следующий вопрос...
– Кто были эти люди, Север? Они выглядят одинаково и странно... Их как бы объединяет общая энергетическая волна. И одежда у них одинаковая, будто у монахов. Кто они?..
– О, это знаменитые Катары, Изидора, или как их ещё называют – чистые. Люди дали им это название за строгость их нравов, чистоту их взглядов и честность их помыслов. Сами же катары называли себя «детьми» или «Рыцарями Магдалины»... коими в реальности они и являлись. Этот народ был по-настоящему СОЗДАН ею, чтобы после (когда её уже не будет) он нёс людям Свет и Знание, противопоставляя это ложному учению «святейшей» церкви. Они были самыми верными и самыми талантливыми учениками Магдалины. Удивительный и чистый народ – они несли миру ЕЁ учение, посвящая этому свои жизни. Они становились магами и алхимиками, волшебниками и учёными, врачами и философами... Им подчинялись тайны мироздания, они стали хранителями мудрости Радомира – сокровенных Знаний наших далёких предков, наших Богов... А ещё, все они несли в своём сердце негаснущую любовь к их «прекрасной Даме»... Золотой Марии... их Светлой и загадочной Магдалине... Катары свято хранили в своих сердцах истинную историю прерванной жизни Радомира, и клялись сохранить его жену и детей, чего бы им это ни стоило... За что, позже, два столетия спустя, все до одного поплатились жизнью... Это по-настоящему великая и очень печальная история, Изидора. Я не уверен, нужно ли тебе её слушать.
– Но я хочу узнать о них, Север!.. Скажи, откуда же они появились, все одарённые? Не из долины ли Магов, случаем?
– Ну, конечно же, Изидора, ведь это было их домом! И именно туда вернулась Магдалина. Но было бы неправильно отдавать должное лишь одарённым. Ведь даже простые крестьяне учились у Катаров чтению и письменности. Многие из них наизусть знали поэтов, как бы дико сейчас для тебя это не звучало. Это была настоящая Страна Мечты. Страна Света, Знания и Веры, создаваемая Магдалиной. И эта Вера распространялась на удивление быстро, привлекая в свои ряды тысячи новых «катар», которые так же яро готовы были защищать даримое им Знание, как и дарившую его Золотую Марию... Учение Магдалины ураганом проносилось по странам, не оставляя в стороне ни одного думающего человека. В ряды Катар вступали аристократы и учёные, художники и пастухи, землепашцы и короли. Те, кто имели, легко отдавали катарской «церкви» свои богатства и земли, чтобы укрепилась её великая мощь, и чтобы по всей Земле разнёсся Свет её Души.
– Прости, что прерву, Север, но разве у Катар тоже была своя церковь?.. Разве их учение также являлось религией?
– Понятие «церковь» очень разнообразно, Изидора. Это не была та церковь, как понимаем её мы. Церковью катаров была сама Магдалина и её Духовный Храм. То бишь – Храм Света и Знания, как и Храм Радомира, рыцарями которого вначале были Тамплиеры (Тамплиерами Рыцарей Храма назвал король Иерусалима Болдуин II. Temple – по-французски – Храм.) У них не было определённого здания, в которое люди приходили бы молиться. Церковь катар находилась у них в душе. Но в ней всё же имелись свои апостолы (или, как их называли – Совершенные), первым из которых, конечно же, была Магдалина. Совершенными же были люди, достигшие самых высших ступеней Знания, и посвятившие себя абсолютному служению ему. Они непрерывно совершенствовали свой Дух, почти отказываясь от физической пищи и физической любви. Совершенные служили людям, уча их своему знанию, леча нуждающихся и защищая своих подопечных от цепких и опасных лап католической церкви. Они были удивительными и самоотверженными людьми, готовыми до последнего защищать своё Знание и Веру, и давшую им это Магдалину. Жаль, что почти не осталось дневников катар. Всё, что у нас осталось – это записи Радомира и Магдалины, но они не дают нам точных событий последних трагичных дней мужественного и светлого катарского народа, так как происходили эти события уже спустя две сотни лет после гибели Иисуса и Магдалины.
– Скажи, Север, как же погибла Золотая Мария? У кого хватило столь чёрного духу, чтобы поднять свою грязную руку на эту чудесную женщину?..
– Церковь, Изидора... К сожалению, всё та же церковь!.. Она взбесилась, видя в лице катар опаснейшего врага, постепенно и очень уверенно занимавшего её «святое» место. И осознавая своё скорое крушение, уже не успокаивалась более, пытаясь любым способом уничтожить Магдалину, справедливо считая её основным виновником «преступного» учения и надеясь, что без своей Путеводной Звезды катары исчезнут, не имея ни вождя, ни Веры. Церковь не понимала, насколько сильно и глубоко было Учение и Знание катар. Что это была не слепая «вера», а образ их жизни, суть того, ДЛЯ ЧЕГО они жили. И поэтому, как бы ни старались «святые» отцы привлечь на свою сторону катар, в Чистой Стране Окситании не нашлось даже пяди земли для лживой и преступной христианской церкви...
– Получается, подобное творил не только Караффа?!.. Неужели же такое было всегда, Север?..
Меня объял настоящий ужас, когда я представила всю глобальную картину предательств, лжи и убийств, которые свершала, пытаясь выжить, «святая» и «всепрощающая» христианская вера!..
– Как же такое возможно?! Как вы могли наблюдать и не вмешиваться? Как вы могли с этим жить, не сходя с ума, Север?!!
Он ничего не ответил, хорошо понимая, что это всего лишь «крик души» возмущённого человека. Да и я ведь прекрасно знала его ответ... Потому мы какое-то время молчали, как заблудшие в темноте, одинокие души...
– Так как же всё-таки погибла Золотая Мария? Можешь ли ты рассказать мне об этом? – не выдержав затянувшейся паузы, снова спросила я.
Север печально кивнул, показывая, что понял...
– После того, как учение Магдалины заняло большую половину тогдашней Европы, Папа Урбан II решил, что дальнейшее промедление будет смерти подобно для его любимой «святейшей» церкви. Хорошенько продумав свой дьявольский план, он, не откладывая, послал в Окситанию двух верных «выкормышей» Рима, которых, как «друзей» катар, знала Магдалина. И опять же, как это слишком часто бывало, чудесные, светлые люди стали жертвами своей чистоты и чести... Магдалина приняла их в свои дружеские объятия, щедро предоставляя им еду и крышу. И хотя горькая судьба научила её быть не слишком доверчивым человеком, подозревать любого было невозможно, иначе её жизнь и её Учение потеряли бы всякий смысл. Она всё ещё верила в ДОБРО, несмотря ни на что...

Хаотические, странные аттракторы соответствуют непредсказуемому поведению систем, не имеющих строго периодической динамики, это математический образ детерминированных непериодических процессов. Странные аттракторы структурированы и могут иметь весьма сложные и необычные конфигурации в трехмерном пространстве.

Рис. 1.

и фазовые портреты (нижний ряд) для трех различных систем

(Глейк, 2001)

Хотя в работах некоторых математиков ранее была установлена возможность существования странных аттракторов, впервые построение странного аттрактора (рис. 2) как решение системы дифференциальных уравнений осуществил в работе по компьютерному моделированию термоконвекции и турбулентности в атмосфере американский метеоролог Э. Лоренц (E.Lorentz, 1963). Конечное состояние системы Лоренца чрезвычайно чувствительно к начальному состоянию. Сам же термин «странный аттрактор» появился позже, в работе Д. Рюэлля и Ф. Такенса в (D.Ruelle, F. Takens, 1971: см. Рюэль, 2001) о природе турбуленции в жидкости; авторы отмечали, что размерность странного аттрактора отлична от обычной, или топологической.Позже Б. Мандельброт (B.Mandelbrot) отождествил странные аттракторы, траектории которых при последовательных вычислениях компьютера бесконечно расслаиваются, расщепляются, с фракталами.

Рис. 2. (Хаотические траектории в системе Лоренца). Аттрактор Лоренца (Кроновер, 2000)

Лоренц (Lorenz, 1963) обнаружил, что даже простая система из трех нелинейных дифференциальных уравнений может привести к хаотическим траекториям В свою очередь, движение воздушных потоков в плоском слое жидкости постоянной толщины при разложении скорости течения и температуры в двойные ряды Фурье с последующем усечением до первых-вторых гармоник:

где s, r и b -- некоторые положительные числа, параметры системы. Обычно исследования системы Лоренца проводят при s =10, r =28 и b =8/3 (значения параметров).

Таким образом, системы, поведение которых детерминируется правилами, не включающим случайность, с течением времени проявляют непредсказуемость за счет нарастания, усиления, амплификации малых неопределенностей, флуктуаций. Наглядный образ системы с нарастанием неопределенности - так называемый биллиард Я.Г. Синая: достаточно большая последовательность соударений шаров неизбежно ведет к нарастанию малых отклонений от исчисляемых траекторий (за счет не идеально сферической поверхности реальных шаров, не идеально однородной поверхности сукна) и непредсказуемости поведения системы.

В таких системах «случайность создается подобно тому, как перемешивается тесто или тасуется колода карт» (Кратчфилд и др., 1987). Так называемое «преобразование пекаря» с последовательным растягиванием и складыванием, бесконечным образованием складок - одна из моделей возникновения перехода от порядка к хаосу; при этом число преобразований может служить мерой хаоса. Есть Аттрактор Айдзавы, который является частным случаем аттрактора Лоренца.

где а = 0,95, B = 0,7, с = 0,6, d = 3,5, е = 0,25, F = 0,1. Каждая предыдущая координата вводится в уравнения, полученное в результате значение, умноженное на значения времени.

Примеры других странных аттракторов

Аттрактор ВангСун

Здeсь a, b, d, e?R, c> 0 и f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.

Аттрактор Рёсслера

Где a,b,c= положительные постоянные. При значениях параметров a=b=0.2 и
Подробности Опубликовано: 10.07.2018 11:13 : Windows.
Лицензия: бесплатно.
Версия: 1.1.0.0.
Аннотация : демонстрируется программа для анализа системы Лоренца, позволяющая наблюдать такие состояния системы, как устойчивый аттрактор, два неустойчивых аттрактора, фокус, гомоклиническая петля с устойчивым и неустойчивыми фокусами, аттрактор Лоренца, предельный цикл и удвоенный предельный цикл.
Скачать: ZIP (архив программы) .
Ключевые слова: аттрактор Лоренца, система Лоренца, исследование системы дифференциальных уравнений Лоренца, аттрактор Лоренца matlab, исследование системы Лоренца, аттрактор Лоренца c++, эффект бабочки, гомоклиническая петля, фазовый портрет Лоренца, фазовый портрет системы Лоренца, фазовое пространство Лоренца, решение системы лоренца, странный аттрактор Лоренца, бабочка Лоренца, гомоклиническая траектория, гомоклиническая структура, хаотическое решение, Эдвард Лоренц.
Система Лоренца представляет собой трехмерную систему нелинейных автономных дифференциальных уравнений. Динамическая система была исследована Эдвардом Лоренцем в 1963 году. Основной причиной, породившей такой интерес к системе уравнений Лоренца, является ее хаотическое поведение. Система уравнений записывается в виде

где q, r, b > 0. В результате интегрирования системы были выявлены закономерности, приведенные ниже.

При r>0 и r0 и r1

В случае r1,345 – фокусами (рис.4).

Рис. 3. Два узла, r=1,3

Рис. 4. Два фокуса, r=10

При увеличении r до величины 13,926 две неустойчивые траектории, исходящие из начала координат, возвращаются в начало координат при t стремящемся к бесконечности, при этом перестают быть глобальными аттракторами.

В случае r=13,927 точка может совершать колебательные движения из одной окрестности в другую и обратно. Такое поведение называют метастабильным хаосом или гомоклинической петлей (рис.5).

Рис. 5. Гомоклиническая петля, r=13,927

При r>13,927 в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором. Происходит бифуркация гомоклинических траекторий с образованием двух неустойчивых циклов (рис.6).

Рис. 6. Два неустойчивых цикла, r>13,927

При значении r=24,06 траектории ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам - возникает собственно аттрактор Лоренца (рис.7).

Рис. 7. Аттрактор Лоренца, r=24,06

В случае r>24,06 происходит очередная бифуркация. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений r=24,74.

При r=24,74 возникает инверсия бифуркации Хопфа, когда r>24,74 остается «странный аттрактор» (рис.8).

Рис. 8. Странный аттрактор Лоренца, r>24,74

В случае увеличения r до 100 наблюдается автоколебательный режим (рис.9).

Рис. 9. Автоколебательный режим, r=100

При увеличении r до значения 225 происходит каскад бифуркаций удвоения цикла (рис.10).

Рис. 10. Удвоение цикла, r=225

Рис. 11. Два несимметричных периодических решения, r=300

При больших значениях r в системе существует симметричный цикл (рис.12).

Рис. 12. Симметричный цикл, r=400

Программа «Lorenz - программа для изучения системы Лоренца», реализованная в среде разработки Turbo C++, позволяет смоделировать систему Лоренца. Построение фазовых портретов и графика зависимости решений от времени t ведется на основе метода Рунге-Кутта третьего порядка. Интерфейс программы приведен на рис.13.

Рис. 13.

Моделирование поведения системы Лоренца с использованием программы Lorenz предполагает выполнение следующих шагов (рис.14):
- определить начальные координаты (x0,y0,z0);
- задать шаг интегрирования h и число итераций i;
- установить значение коэффициентов q, r, b;
- (опционально) установить индикатор «Подробно» для получения деталей решения;
- нажать кнопку «Вычислить»;
- (опционально) дважды щелкнуть на полученных изображениях для их копирования в буфер обмена.
Рис. 14.

Примеры моделирования поведения системы Лоренца программой Lorenz приведены на рис.15.

Рис. 15.
Литература
Архангельский А.Я. Программирование в C++ Builder. – М.: Бином-Пресс, 2010. – 1304 с.
Кирьянов Д. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. – СПб.: БХВ-Петербург, 2012. – 432 с.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: МЦНМО, 2012. – 344 с.
MassTextReplacer - программа для массового изменения текстовых файлов ;
Lorenz - программа для изучения системы Лоренца;

В 1961 году метеоролог и математик Эдвард Лоренц, скончавшийся 16 апреля 2008 года, ввел в созданную им компьютерную модель погоды данные, округлив их не до шестого, а до третьего знака после запятой. В результате был сформулирован эффект бабочки, открыт один из странных аттракторов, обнаружена непредсказуемость поведения многих детерминированных систем и, в конечном итоге, создана теория хаоса.

Вопрос: мыслим ли такой демон хотя бы теоретически? Успехи науки Нового времени наводили на мысль, что да: орбиты планет были рассчитаны, появления комет – предсказаны, случайные события – описаны теорией вероятности.

В дальнейшем, однако, демон Лапласа подвергся жесткой критике. После развития квантовой механики и открытия принципа неопределенности Гейзенберга (нельзя точно измерить одновременно скорость и координаты частицы) стало понятно, что квантовые системы демону неподвластны: в них есть принципиальная непредсказуемость.

Впоследствии также отмечалось, что существование демона противоречило бы законам термодинамики, что ему в принципе не хватило бы для знаний и вычислений информационных мощностей, даже используй он все ресурсы Вселенной.

Однако демон не сдал позиции полностью. В самом деле, представим себе полностью детерминированную (предопределенную, лишенную случайности) систему (классическую, без квантовых эффектов). Если мы знаем все законы, управляющие ее поведением (будь они сколь угодно сложны), знаем все необходимые параметры и обладаем необходимыми вычислительными мощностями (то есть под рукой есть демон Лапласа – читай: суперкомпьютер), то уж для такой-то системы мы сможем полностью предсказать поведение?

Есть одна оговорка. Все наши измерения будут содержать какую-нибудь ошибку. Переменные, хранящиеся в памяти компьютера, будут иметь ограниченную точность. То есть придется пользоваться приблизительными данными. Ну и ладно: нам не нужна бесконечная точность, вполне достаточно приблизительных предсказаний. Исходные данные содержат ошибку в пятом знаке? Ошибка предсказания в пятом знаке нас вполне устроит.

Итак, можно ли, например, предсказывать погоду? Хотя бы примерно? Хотя бы на каком-то ограниченном участке, но на более-менее приличный срок?

теоретические основы

В его распоряжении находилась вычислительная машина Royal McBee. В 1960 году Лоренц создал упрощенную модель погоды. Модель представляла собой набор чисел, описывавший значение нескольких переменных (температуры, атмосферного давления, скорости ветра) в данный момент времени. Лоренц выбрал двенадцать уравнений, описывавших связь между этими переменными. Значение переменных в следующий момент времени зависело от их значения в предыдущий момент и рассчитывалось по этим уравнениям. Таким образом, модель была полностью детерминирована.

Коллеги Лоренца от модели пришли в восторг. Машине скармливались несколько чисел, она начинала выдавать ряды чисел (впоследствии Лоренц научил ее рисовать несложные графики), описывающие погоду в некотором воображаемом мире. Числа не повторялись – они порой почти повторялись, система как будто воспроизводила старое свое состояние, но не полностью, циклов не возникало. Словом, искусственная погода была плохо предсказуема, причем характер этой непредсказуемости (апериодичность) был примерно такой же, какой и у погоды за окном. Студенты и преподаватели заключали пари, пытаясь угадать, каким будет состояние модели в следующий момент.

Зимой 1961 года Лоренц решил подробнее изучить уже построенный машиной график изменения одной из переменных. В качестве начальных данных он ввел значения переменных из середины графика и вышел отдохнуть. Машина должна была бы точно воспроизвести вторую половину графика и продолжить строить его дальше. Однако вернувшись, Лоренц обнаружил совершенно другой график. Если в начале он еще более-менее повторял первый, то к концу не имел с ним ничего общего.

Расхождение двух графиков погоды, берущих начало из одной точки. Распечатка Лоренца 1961 года, воспроизведенная в книге Джеймса Глейка "Хаос: Создание новой науки" (СПб., "Амфора", 2001).

Получалось, что модель, из которой полностью устранена случайность, при одних и тех же начальных значениях выдает совершенно разные результаты. Машина не сломалась и считала все правильно, Лоренц не опечатался при вводе данных.

Разгадка нашлась довольно быстро: в памяти машины значения переменных хранились с точностью до шести знаков после запятой (...,506217), а на распечатку выдавалось только три (...,506). Лоренц, разумеется, ввел округленные значения, резонно предположив, что такой точности вполне достаточно.

Оказалось, что нет. "...овалились маленькие костяшки домино... большие костяшки... огромные костяшки, соединенные цепью неисчислимых лет, составляющих Время", – написал в 1952 году в знаменитом рассказе "И грянул гром" Рэй Брэдбери. Примерно это же произошло в модели Лоренца. Система оказалась исключительно чувствительной к малейшим воздействиям на нее.

иррегулярного и непредсказуемого поведения детерминистских нелинейных динамических систем

явно беспорядочного, повторяющегося поведения в простой детерминистской системе, похожей на работающие часы

Откуда в детерминированной системе хаос и непредсказуемость? От сильной чувствительности к начальным условиям. Малейшее воздействие, от которого невозможно избавиться – округление переменной (если это теоретическая модель), ошибка измерения (если это исследование реальной системы) – и система ведет себя совершенно по-другому.

Лоренц приводил наглядный пример: если погода действительно относится к классу настолько чувствительных систем (разумеется, не все системы такие), то взмах крыльев чайки может вызвать заметные изменения погоды. Впоследствии чайка была заменена бабочкой, а в 1972 году появилась работа "Предсказуемость: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?".

Так родился знаменитый термин "эффект бабочки", отсылавший и к рассказу Брэдбери и, удивительным образом, к следующему открытию Лоренца – странному аттрактору, названному в его честь.

Лоренц построил похожую, но более простую модель из трех уравнений с тремя переменными. Модель описывала конвекцию в газе и жидкости, а также поведение несложного механического устройства – водяного колеса Лоренца (см. иллюстрацию). Под напором воды, наполняющей емкости (и вытекающей из них сквозь небольшие отверстия), колесо ведет себя удивительно сложным образом: замедляет вращение, ускоряет его, начинает вращаться в другую сторону, останавливается – в общем, как и положено уважающей себя хаотической системе.

Уравнения выглядели следующим образом
dx/dt = s(y - x)
dy/dt = x(r - z) - y
dz/dt = xy - bz
s=10, r=28, b=8/3. Можно брать и другие значения параметров, однако не при всех система будет демонстрировать хаотическое поведение.

Для наглядного отображения поведения системы Лоренц использовал не обычный временной график, а фазовый портрет. Три числа, описывающие состояние системы, обозначали координаты точки в трехмерном пространстве. С каждым шагом на фазовом портрете появлялась новая точка.

Если бы система рано или поздно приходила к полной устойчивости, добавление точек рано или поздно должно было полностью остановиться. Если бы она приходила к периодическим колебаниям, линия из точек образовала бы кольцо. Наконец, если в поведении системы не было бы вообще никаких закономерностей, на фазовом портрете могло бы появиться что угодно.

Результат оказался совершенно неожиданным. Объект, который появился на портрете (см. главную иллюстрацию), располагался в определенных границах, не пересекая их. Он обладал определенной структурой – напоминал два крыла бабочки – но в ее пределах был совершенно неупорядочен. Он не прекращал "развиваться": ни одна новая точка не совпадала с предыдущей, фазовый портрет можно было строить бесконечно. Переход от одного из крыльев к другому соответствовал началу вращения колеса в другую сторону.

Такие объекты – странные аттракторы – сыграли большую роль во фрактальной геометрии и теории хаоса. "Крылья бабочки" получили название "аттрактор Лоренца".

Эффект бабочки: фазовые портреты для трех моментов времени. Желтая и синяя линия представляют собой траектории, соответствующие начальным наборам данных, в которых значения x отличались на 10 -5 . Сначала линии почти совпадают (желтая закрывает с

Второй шок – в этом хаосе, оказывается, спрятан порядок. Неожиданный, странный, плохо понятный, представляющий собой "тонкую структуру, таящуюся в беспорядочном потоке информации" (Дж. Глейк), но тем более интересный. Аттрактор Лоренца не решает проблемы предсказания, но уже само его существование достойно изучения.

Поисками подобных проявлений порядка в хаосе и занимается сравнительно молодая наука – теория хаоса. Она возникла не мгновенно и не имеет одного создателя. Ее основы были заложены в работах Пуанкаре, Колмогорова, Арнольда, Ляпунова, Ландау, Смэйла, Мандельброта, Фейгенбаума и десятков других талантливых ученых, либо увидевших то, что до них никто не видел, либо сумевших описать то, что увидели другие.

Одним же из ключевых моментов (далеко не сразу, кстати, оцененным по достоинству) в ее возникновении считается день, когда Эдвард Нортон Лоренц, любитель погоды и упорный искатель странного, ввел в свою модель значения переменных, округленные до трех знаков после запятой.