С ними находятся внутри логарифмов.
Примеры:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 {(x^2-3)}< \log_3{(2x)}\)
\(\log_{x+1}{(x^2+3x-7)}>2\)
\(\lg^2{(x+1)}+10≤11 \lg{(x+1)}\)
Как решать логарифмические неравенства:
Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a{f(x)} ˅ \log_a{g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из ). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду \(f(x) ˅ g(x)\).
Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
\(-\) если - число и оно больше 1 - знак неравенства при переходе остается прежним,
\(-\) если основание - число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.
|
\(\log_2{(8-x)}<1\) Решение: |
\(\log\)\(_{0,5}\)
\((2x-4)\)≥\(\log\)\(_{0,5}\)
\({(x+1)}\) Решение: |
Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{f(x)} ˅ \log_a{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:
Пример . Решить неравенство: \(\log\)\(≤-1\)
Решение:
|
\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\) |
Выпишем ОДЗ. |
|
ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\)
\(>0\) |
|
|
\(\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\) |
Раскрываем скобки, приводим . |
|
\(\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\) |
Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения. |
|
\(\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\) |
|
|
\(\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\) |
Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\)
и \(\frac{3}{2}\)
. Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль. |
|
|
Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ. |
|
|
Записываем окончательный ответ. |
Пример . Решить неравенство: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Решение:
|
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Выпишем ОДЗ. |
|
ОДЗ: \(x>0\) |
Приступим к решению. |
|
Решение: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем . |
|
\(t=\log_3x\) |
Раскладываем левую часть неравенства на . |
|
\(D=1+8=9\) |
|
|
Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену. |
|
|
\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Преобразовываем \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac{1}{3}\). |
|
\(\left[ \begin{gathered} \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется. |
|
\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке. |
|
|
Запишем ответ. |
Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3 . Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.
Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств , которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.
Логарифмическая функция
Определение
Функцию вида
0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">
называют логарифмической функцией .
Основные свойства
Основные свойства логарифмической функции y = log a x :
Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая :
Свойства логарифмов
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Если a и b a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство :
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Равенство log a t = log a s , где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.
Если a , b , c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма ):
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Теорема 1. Если f (x ) > 0 и g (x ) > 0, то логарифмическое уравнение log a f (x ) = log a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).
Решение логарифмических уравнений и неравенств
Пример 1. Решите уравнение:
Решение. В область допустимых значений входят только те x , при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
С учетом того, что
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:
На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:
В область допустимых значений входит только первый корень.
Ответ: x = 7.
Пример 2. Решите уравнение:
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:
ql-right-eqno">
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.
Используем подстановку:
Уравнение принимает вид:
Обратная подстановка:
Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.
Пример 4. Решите уравнение:
Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:
ql-right-eqno">
Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:
Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.
Ответ: x = -1.
Пример 5. Решите уравнение:
Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x ≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:
Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.
Пример 6. Решите уравнение:
Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:
Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:
В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.
Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам . Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:
Теорема 2.
Если f
(x
) > 0 и g
(x
) > 0, то:
при a
> 1 логарифмическое неравенство log a f
(x
) > log a g
(x
) равносильно неравенству того же смысла: f
(x
) > g
(x
);
при 0 < a
< 1 логарифмическое неравенство log a f
(x
) > log a g
(x
) равносильно неравенству противоположного смысла: f
(x
) < g
(x
).
Пример 7. Решите неравенство:
Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:
Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:
После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:
С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:
Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:
Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:
С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение.
Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству.
При изучении логарифмической функции мы рассматривали в основном неравенства вида
log а х < b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Решить неравенство lg (х + 1) ≤ 2 (1).
Решение .
1) Правая часть рассматриваемого неравенства смысл имеет при всех значенияхх, а левая часть – при х + 1 > 0, т.е. при х > -1.
2) Промежуток х > -1 называют областью определения неравенства (1). Логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, следовательно, при условии х + 1 > 0 неравенство (1) выполняется, если х + 1 ≤ 100 (так как 2 = lg 100). Таким образом, неравенство (1) и система неравенств
{х > -1, (2)
{х + 1 ≤ 100,
равносильны, иными словами, множество решений неравенства (1) и системы неравенств (2) одно и то же.
3) Решая систему (2), находим -1 < х ≤ 99.
Ответ. -1 < х ≤ 99.
Решить неравенство log 2 (х – 3) + log 2 (х – 2) ≤ 1 (3).
Решение.
1) Областью определения рассматриваемой логарифмической функции является множество положительных значений аргумента, поэтому левая часть неравенства смысл имеет при х – 3 > 0 и х – 2 > 0.
Следовательно, областью определения этого неравенства является промежуток х > 3.
2) По свойствам логарифма неравенство (3) при х > 3 равносильно неравенству log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4).
3) Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей. Поэтому при х > 3 неравенство (4) выполняется, если (х – 3)(х – 2) ≤ 2.
4) Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе неравенств
{(х – 3)(х – 2) ≤ 2,
{х > 3.
Решая первое неравенство этой системы, получаем х 2 – 5х + 4 ≤ 0, откуда 1 ≤ х ≤ 4. Совмещая этот отрезок с промежутком х > 3, получаем 3 < х ≤ 4.
Ответ. 3 < х ≤ 4.
Решить неравенство log 1/2 (х 2 + 2х – 8) ≥ -4. (5)
Решение.
1) Область определения неравенства находим из условия х 2 + 2х – 8 > 0.
2) Неравенство (5) можно записать в виде:
log 1/2 (х 2 + 2х – 8) ≥ log 1/2 16.
3) Так как логарифмическая функция с основанием ½ убывающая, то для всех х из всей области определения неравенства получаем:
х 2 + 2х – 8 ≤ 16.
Таким образом, исходное равенство (5) равносильно системе неравенств
{х 2 + 2х – 8 > 0, или {х 2 + 2х – 8 > 0,
{х 2 + 2х – 8 ≤ 16, {х 2 + 2х – 24 ≤ 0.
Решая первое квадратное неравенство, получаем х < -4, х > 2. Решая второе квадратное неравенство, получаем -6 ≤ х ≤ 4. Следовательно, оба неравенства системы выполняются одновременно при -6 ≤ х < -4 и при 2 < х ≤ 4.
Ответ. -6 ≤ х < -4; 2 < х ≤ 4.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Цели урока:
Дидактические:
- 1 уровень – научить решать простейшие логарифмические неравенства, применяя определение логарифма, свойства логарифмов;
- 2 уровень – решать логарифмические неравенства, выбирая самостоятельно способ решения;
- 3 уровень – уметь применять знания и умения в нестандартных ситуациях.
Развивающие: развивать память, внимание, логическое мышление, навыки сравнения, уметь обобщать и делать выводы
Воспитательные: воспитывать аккуратность, ответственность за выполняемое задание, взаимопомощь.
Методы обучения: словесный, наглядный, практический, частично-поисковый, самоуправления, контроля.
Формы организации познавательной деятельности учащихся: фронтальный, индивидуальный, работа в парах.
Оборудование: набор тестовых заданий, опорный конспект, чистые листы для решений.
Тип урока: изучение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент. Объявляются тема и цели урока, схема проведения урока: каждому ученику выдается оценочный лист, который ученик заполняет в течении урока; для каждой пары учеников – печатные материалы с заданиями, выполнять задания нужно в парах; чистые листы для решений; опорные листы: определение логарифма; график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств.
Все решения после самооценки сдаются учителю.
Оценочный лист учащегося
2. Актуализация знаний.
Указания учителя. Вспомните определение логарифма, график логарифмической функции и ее свойства. Для этого прочитайте текст на с.88–90, 98–101 учебника “Алгебра и начала анализа 10–11” под редакцией Ш.А Алимова, Ю.М Колягина и др.
Ученикам раздаются листы, на которых записаны: определение логарифма; изображен график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств, пример решения логарифмического неравенства, сводящегося к квадратному.
3. Изучение нового материала.
Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.
Алгоритм решения логарифмических неравенств:
А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше
нуля).
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде
логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если
t>1, то возрастающая; если 0
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений),
учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится,
если она убывает.
Учебный элемент № 1.
Цель: закрепить решение простейших логарифмических неравенств
Форма организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальная работа.
Задания для самостоятельной работы на 10 минут. Для каждого неравенства имеются несколько вариантов ответов, нужно выбрать верный и проверить по ключу.
КЛЮЧ: 13321, максимальное кол-во баллов – 6 б.
Учебный элемент № 2.
Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, применяя свойства логарифмов.
Указания учителя. Вспомните основные свойства логарифмов. Для этого прочитайте текст учебника на с.92, 103–104.
Задания для самостоятельной работы на 10 минут.
КЛЮЧ: 2113, максимальное кол-во баллов – 8 б.
Учебный элемент № 3.
Цель: изучить решение логарифмических неравенств методом сведения к квадратному.
Указания учителя: метод сведения неравенства к квадратному состоит в том, что нужно преобразовать неравенство к такому виду, чтобы некоторую логарифмическую функцию обозначить новой переменной, получив при этом квадратное неравенство относительно этой переменной.
Применим метод интервалов.
Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам придется самостоятельно выбрать метод решения логарифмических уравнений, используя все свои знания и возможности.
Учебный элемент № 4.
Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, выбрав самостоятельно рациональный способ решения.
Задания для самостоятельной работы на 10 минут
Учебный элемент № 5.
Указания учителя. Молодцы! Вы освоили решение уравнений второго уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных и нестандартных ситуациях.
Задания для самостоятельного решения:
Указания учителя. Замечательно, если вы справились со всем заданием. Молодцы!
Оценка за весь урок зависит от числа набранных баллов по всем учебным элементам:
- если N ≥ 20, то вы получаете оценку “5”,
- при 16 ≤ N ≤ 19 – оценка “4”,
- при 8 ≤ N ≤ 15 – оценка “3”,
- при N < 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).
Оценочные лисы сдать учителю.
5. Домашнее задание: если вы набрали не более 15 б – выполните работу над ошибками (решения можно взять у учителя), если вы набрали более 15 б – выполните творческое задание по теме “Логарифмические неравенства”.