Из–за разности давлений в жидкости на разных уровнях возникает выталкивающая или Архимедова сила, которая вычисляется по формуле:
где: V – объем вытесненной телом жидкости, или же объем погружённой в жидкость части тела, ρ – плотность жидкости в которую погружено тело, и следовательно, ρV – масса вытесненной жидкости.
Архимедова сила, действующая на погруженное в жидкость (или газ) тело, равна весу жидкости (или газа), вытесненной телом. Это утверждение, называемоезаконом Архимеда , справедливо для тел любой формы.
При этом вес тела (т.е. сила с которой тело действует на опору или подвес) погруженного в жидкость уменьшается. Если принять, что вес покоящегося тела в воздухе равен mg , а именно так мы и будем поступать в большинстве задач (хотя вообще говоря на тело в воздухе также действует очень маленькая сила Архимеда со стороны атмосферы, ведь тело погружено в газ из атмосферы), то для веса тела в жидкости можно легко вывести следующую важную формулу:
Эта формула может быть использована при решении большого количества задач. Ее можно запомнить. При помощи закона Архимеда осуществляется не только мореплавание, но и воздухоплавание. Из закона Архимеда вытекает, что если средняя плотность тела ρ т больше плотности жидкости (или газа) ρ (или по–другому mg > F A), тело будет опускаться на дно. Если же ρ т < ρ (или по–другому mg < F A), тело будет плавать на поверхности жидкости. Объем погруженной части тела будет таков, что вес вытесненной жидкости равен весу тела. Для подъема воздушного шара в воздухе его вес должен быть меньше веса вытесненного воздуха. Поэтому воздушные шары заполняют легкими газами (водородом, гелием) или нагретым воздухом.
Плавание тел
Если тело находится на поверхности жидкости (плавает), то на него действует всего две силы (Архимеда вверх и тяжести вниз), которые уравновешивают друг друга. Если тело погружено только в одну жидкость, то записав второй закон Ньютона для такого случая и выполнив простые математические операции можем получить следующее выражение связывающее объемы и плотности:
где: V погр – объем погруженной части тела, V – полный объем тела. При помощи этого соотношения легко решается большинство задач на плавание тел.
Основные теоретические сведения
Импульс тела
Импульсом (количеством движения) тела называют физическую векторную величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается р . Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость, т.е. он рассчитывается по формуле:
Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости тела (направлен по касательной к траектории). Единица измерения импульса – кг∙м/с.
Общий импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел системы:
Изменение импульса одного тела находится по формуле (обратите внимание, что разность конечного и начального импульсов векторная):
где: p н – импульс тела в начальный момент времени, p к – в конечный. Главное не путать два последних понятия.
Абсолютно упругий удар – абстрактная модель соударения, при которой не учитываются потери энергии на трение, деформацию, и т.п. Никакие другие взаимодействия, кроме непосредственного контакта, не учитываются. При абсолютно упругом ударе о закрепленную поверхность скорость объекта после удара по модулю равна скорости объекта до удара, то есть величина импульса не меняется. Может поменяться только его направление. При этом угол падения равен углу отражения.
Абсолютно неупругий удар – удар, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. Например, пластилиновый шарик при падении на любую поверхность полностью прекращает свое движение, при столкновении двух вагонов срабатывает автосцепка и они так же продолжают двигаться дальше вместе.
Закон сохранения импульса
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой .
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Этот фундаментальный закон природы называетсязаконом сохранения импульса (ЗСИ) . Следствием его являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона в импульсной форме может быть записан следующим образом:
Как следует из данной формулы, в случае если на систему тел не действует внешних сил, либо действие внешних сил скомпенсировано (равнодействующая сила равна нолю), то изменение импульса равно нолю, что означает, что общий импульс системы сохраняется:
Аналогично можно рассуждать для равенства нулю проекции силы на выбранную ось. Если внешние силы не действуют только вдоль одной из осей, то сохраняется проекция импульса на данную ось, например:
Аналогичные записи можно составить и для остальных координатных осей. Так или иначе, нужно понимать, что при этом сами импульсы могут меняться, но именно их сумма остается постоянной. Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны.
Причина возникновения архимедовой силы – разность давлений среды на разной глубине. Поэтому сила Архимеда возникает только в при наличии силы тяжести. На Луне она будет вшестеро, а на Марсе – в 2,5 раза меньше, чем на Земле.
В невесомости архимедовой силы нет. Если представить себе, что сила тяжести на Земле вдруг пропала, то все корабли в морях, океанах и реках от малейшего толчка уйдут на любую глубину. А вот подняться вверх им не даст не зависящее от силы тяжести поверхностное натяжение воды, так что взлететь они не смогут, все потонут.
Как проявляется сила Архимеда
Величина архимедовой силы зависит от объема погруженного тела и плотности среды, в которой оно находится. Его точная в современном представлении: на погруженное в жидкую или газовую среду тело в поле силы тяжести действует выталкивающая сила, в точности равная весу вытесненной телом среды, то есть F = ρgV, где F – сила Архимеда; ρ – плотность среды; g – ускорение свободного падения; V – объем вытесненной телом или погруженной его частью жидкости (газа).
Если в пресной воде на каждый литр объема погруженного тела действует выталкивающая сила в 1 кг (9,81 н), то в морской воде, плотность которой 1,025 кг*куб. дм, на тот же литр объема будет действовать сила Архимеда в 1 кг 25 г. Для человека средней комплекции разность силы поддержки морской и пресной водой составит почти 1,9 кг. Поэтому плавать в море легче: представьте себе, что вам нужно переплыть хотя бы пруд без течения с двухкилограммовой гантелью за поясом.
От формы погруженного тела архимедова сила не зависит. Возьмите железный цилиндр, измерьте силу его из воды. Затем раскатайте этот цилиндр в лист, погрузите в воду плашмя и ребром. Во всех трех случаях сила Архимеда окажется одинаковой.
На первый взгляд странно, но, если погружать лист плашмя, то уменьшение разности давлений для тонкого листа компенсируется увеличением его площади, перпендикулярной поверхности воды. А при погружении ребром - наоборот, малая площадь ребра компенсируется большей высотой листа.
Если вода очень сильно насыщена солями, отчего ее плотность стала выше плотности человеческого тела, то в ней не утонет и человек, не умеющий плавать. В Мертвом море в Израиле, например, туристы могут часами лежать на воде, не шевелясь. Правда, ходить по нему все равно нельзя – площадь опоры получается малой, человек проваливается в воду по горло, пока вес погруженной части тела не сравняется с весом вытесненной им воды. Однако при наличии некоторой доли фантазии сложить легенду о хождении по воде можно. А вот в керосине, плотность которого всего 0,815 кг*куб. дм, не сможет удержаться на поверхности и очень опытный пловец.
Архимедова сила в динамике
То, что суда плавают благодаря силе Архимеда, известно всем. Но рыбаки знают, что архимедову силу можно использовать и в динамике. Если на попалась большая и сильная рыбина (таймень, например), то медленно подтягивать ее к сачку (вываживать) нет: оборвет леску и уйдет. Нужно сначала дернуть слегка, когда она уходит. Почувствовав при этом крючок, рыба, стремясь освободиться от него, метнется в сторону рыбака. Тогда нужно дернуть очень сильно и резко, чтобы леска не успела порваться.
В воде тело рыбы почти ничего не весит, но его масса с инерцией сохраняются. При таком способе ловли архимедова сила как бы наддаст рыбе в хвост, и добыча сама плюхнется к ногам рыболова или к нему в лодку.
Архимедова сила в воздухе
Архимедова сила действует не только в жидкостях, но и в газах. Благодаря ей летают воздушные шары и дирижабли (цеппелины). 1 куб. м воздуха при нормальных условиях (20 градусов Цельсия на уровне моря) весит 1,29 кг, а 1 кг гелия – 0,21 кг. То есть 1 кубометр наполненной оболочки способен поднять груз в 1,08 кг. Если оболочка диаметром в 10 м, то ее объем будет 523 куб. м. Выполнив ее из легкого синтетического материала, получим подъемную силу около полутонны. Архимедову силу в воздухе аэронавты называют сплавной силой.
Если из аэростата откачать воздух, не дав ему сморщиться, то каждый его кубометр потянет вверх уже все 1,29 кг. Прибавка более 20% к подъемной силе технически весьма соблазнительна, да гелий дорог, а водород взрывоопасен. Поэтому проекты вакуумных дирижаблей время от времени появляются на свет. Но материалов, способных при этом выдержать большое (около 1 кг на кв. см) атмосферное давление снаружи на оболочку, современная технология создать пока не способна.
Архимед – греческий механик, физик, математик, инженер. Родился в Сиракузах (Сицилия). Его отец Фидий был астрономом и математиком. Отец занимался воспитанием и образованием сына. От него Архимед унаследовал способности к математике, астрономии и механике. Архимед обучался в Александрии (Египет), которая в то время была культурным и научным центром. Там он познакомился с Эратосфеном – греческим математиком, астрономом, географом и поэтом, который стал наставником Архимеда и покровительствовал ему долгое время.
Архимед сочетал в себе таланты инженера-изобретателя и ученого-теоретика. Он стал основателем теоретической механики и гидростатики, разработал методы нахождения площадей поверхностей и объемов различных фигур и тел.
По легенде, Архимеду принадлежит множество удивительных технических изобретений, которые завоевали ему славу среди современников. Предполагают, что Архимед с помощью зеркал и отражения солнечных лучей смог поджечь римский флот, который осадил Александрию. Этот случай является наглядным примером отличного владения оптикой.
Архимеду также приписывают изобретение катапульты, военной метательной машины, конструирование планетария, в котором планеты двигались. Учёный создал винт для подъёма воды (Архимедов винт), который до сих пор используется и представляет собой водоподъемную машину, вал с винтовой поверхностью, находящийся в наклонной трубе, погруженной в воду. Во время вращения винтовая поверхность вала перемещает воду по трубе на разные высоты.
Архимед написал много научных трудов: «О спиралях», «О коноидах и сфероидах», «О шаре и цилиндре», «О рычагах», «О плавающих телах». А в трактате «О песчинках» он подсчитал количество песчинок в объёме земного шара.
Свой знаменитый закон Архимед открыл при интересных обстоятельствах. Царь Гиреон II, которому служил Архимед, хотел узнать, не подмешивали ли ювелиры серебро к золоту, когда изготавливали корону. Для этого необходимо определить не только массу, но объём короны, чтобы рассчитать плотность металла. Определить объём изделия неправильной формы – непростая задача, над которой Архимед долго размышлял.
Решение пришло Архимеду в голову, когда он погрузился в ванну: уровень воды в ванне поднялся после того, как тело учёного было опущено в воду. То есть объем его тела вытеснил равный ему объем воды. С криком «Эврика!» Архимед побежал во дворец, даже не потрудившись одеться. Он опустил корону в воду и определил объем вытесненной жидкости. Задача была решена!
Таким образом, Архимед открыл принцип плавучести. Если твердое тело погрузить в жидкость, оно вытеснит объем жидкости, равный объему погруженной в жидкость части тела. Тело может плавать в воде, если его средняя плотность меньше плотности жидкости, в которую его поместили.
Закон Архимеда гласит: на всякое тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости или газа.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Выталкивающую силу, или силу Архимеда, можно вычислить. Особенно легко это сделать для тела, стороны которого прямоугольники (прямоугольного параллелепипеда). Например, такую форму имеет брусок.
Поскольку боковые силы давления жидкости можно не учитывать, так как они взаимно уничтожаются (их равнодействующая равна нулю), то рассматриваются только силы давления воды, действующие на нижнюю и верхнюю поверхности. Если тело не полностью погружено в воду, то есть только сила давления воды, действующая снизу. Она единственная, которая создает выталкивающую силу.
Давление жидкости на глубине h определяется формулой:
Сила давления определяется формулой:
Заменив давление во второй формуле на равную ему правую часть из первой формулы, получим:
Это и есть сила давления жидкости, действующая на поверхность тела на определенной глубине. Если тело плавает на поверхности, то эта сила будет выталкивающей силой (силой Архимеда). h здесь определяется высотой подводной части тела. В таком случае формулу можно записать так: F A = ρghS. Тем самым подчеркнув, что речь идет о силе Архимеда.
Произведение высоты (h) погруженной в воду части прямоугольного бруска на площадь его основания (S) - это объем (V) погруженной части этого тела. Действительно, чтобы найти объем параллелепипеда надо перемножить его ширину (a), длину (b) и высоту (h). Произведение ширины на длину есть площадь основания (S). Поэтому в формуле мы можем заменить произведение hS на V:
Теперь обратим внимание на то, что ρ - это плотность жидкости, а V - это объем погруженного тела (или части тела). Но ведь тело, погружаясь в жидкость, вытесняет из нее объем жидкости, равный погруженному телу. То есть, если погрузить в воду тело объемом 10 см 3 , то оно вытеснит 10 см 3 воды. Конечно, этот объем воды скорее всего не выскочит из емкости, заменившись объемом тела. Просто уровень воды в емкости поднимется на 10 см 3 .
Поэтому в формуле F A = ρgV мы можем иметь в виду не объем погруженного тела, а объем вытесненной телом воды.
Вспомним, что произведение плотности (ρ) на объем (V) - это масса тела (m):
В таком случае формулу, определяющую выталкивающую силу, можно записать так:
Но ведь произведение массы тела (m) на ускорение свободного падения (g) есть вес (P) этого тела. Тогда получается такое равенство:
Таким образом, сила Архимеда (или выталкивающая сила) равна по модулю (численному значению) весу жидкости в объеме, равном объему погруженного в нее тела (или его погруженной части) . Это и есть закон Архимеда .
Если тело в виде бруска полностью погружено в воду, то выталкивающую силу для него определяет разность между силой давления воды сверху и силой давления снизу. Сверху на тело давит сила, равная
F верх = ρgh верх S,
F низ = ρgh низ S,
Тогда мы можем записать
F A = ρgh низ S – ρgh верх S = ρgS(h низ - h верх)
h верх – это расстояние от кромки воды до верхней поверхности тела, а h низ - это расстояние от кромки воды до нижней поверхности тела. Их разность есть высота тела. Следовательно,
F A = ρghS, где h - это высота тела.
Получилось то же самое, что и для частично погруженного тела, хотя там h - это высота части тела, находящейся под водой. В том случае уже было доказано, что F A = P. То же самое выполняется и здесь: выталкивающая сила, действующая на тело, равна по модулю весу вытесненной им жидкости, которая равна по объему погруженному телу.
Обратите внимание, что вес тела и вес жидкости одинаковых объемов чаще всего разный, так как у тела и жидкости чаще всего разные плотности. Поэтому нельзя говорить, что выталкивающая сила равна весу тела. Она равна весу жидкости, объемом равному телу. Причем весу по модулю, так как выталкивающая сила направлена вверх, а вес вниз.
Чивилев В.И. Закон Архимеда //Квант. - 1987. - № 1. - С. 29-30.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"
«...Удар сжатого воздуха хлопнул в трубах, вода в цистерне зажурчала, и глубомер пополз вверх. Лодка всплыла на ровном киле, и глубомер показал, что рубка уже вышла из воды»,- так описывается всплытие подводной лодки в книге Л. Соболева «Морская душа».
Причина всплытия - сила Архимеда, называемая еще выталкивающей силой, которая после продувки цистерн с водой сжатым воздухом превысила по модулю силу тяжести лодки. Когда же и в каком случае возникает сила Архимеда? Со стороны чего она действует? Куда приложена, как направлена и чему равна?
Выталкивающая сила - это сумма всех сил давления, действующих со стороны жидкости или газа на поверхность погруженного в нее тела (рис. 1). Истинная причина появления выталкивающей силы - наличие различного гидростатического давления на разных уровнях жидкости.
Для нахождения силы Архимеда мысленно заменим погруженное тело жидкостью в объеме этого тела (рис. 2).
На нее со стороны окружающей жидкости будет действовать такая же выталкивающая сила, как и на погруженное тело. По третьему закону Ньютона выделенная в объеме тела жидкость (вытесненная жидкость) будет действовать на окружающую жидкость с той же самой по модулю, но противоположно направленной силой. Это - вес вытесненного объема жидкости. Вспомним, что весом тела, неподвижного в некоторой системе отсчета (необязательно инерциальной), называется сила, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на подставку или подвес. В нашем случае роль подставки для выделенного объема жидкости играет окружающая жидкость.
Итак, выталкивающая сила, действующая на погруженное в жидкость тело, равна по модулю и противоположна по направлению весу вытесненной жидкости. Это и есть закон Архимеда. Заметим, что в формулировке закона говорится именно о весе вытесненной жидкости, а не о силе тяжести. И это весьма существенно, так как вес тела (по модулю) не всегда совпадает с силой тяжести. Например, ящик массой m в кабине поднимающегося с ускорением а лифта давит на пол с силой m (g + a ). Это значит, что вес ящика равен Р = m (g + a ), в то время как сила тяжести, действующая на ящик, равна mg . Когда же кабина лифта опускается с тем же ускорением, вес ящика оказывается равным Р = m (g - a ).
Из последнего выражения ясно, что выталкивающая сила появляется тогда, когда нет состояния невесомости, то есть любое тело (в том числе и жидкость) имеет вес. Если сосуд с жидкостью свободно падает, то жидкость находится в состоянии невесомости и на погруженное в нее тело сила Архимеда не действует. Не действует эта сила и в космическом корабле, движущемся с выключенными двигателями.
При доказательстве закона Архимеда мы считали, что тело полностью погружено в жидкость и вся его поверхность соприкасается с жидкостью. Если же часть поверхности тела плотно прилегает к стенке или дну сосуда, так, что между ними нет прослойки жидкости, то закон Архимеда неприменим. Яркой иллюстрацией сказанного служит опыт, когда ровную нижнюю поверхность деревянного кубика натирают парафином и плотно приставляют ко дну сосуда. Затем осторожно наливают воду. Брусок не всплывает, так как со стороны воды на него действует сила, не выталкивающая его вверх, а прижимающая ко дну (рис. 3).
Приведенная формулировка закона Архимеда остается справедливой и в случае, когда тело лишь частично опущено в жидкость, но не соприкасается со стенками сосуда. (Доказательство аналогично случаю полностью погруженного в жидкость тела.)
Нам осталось научиться находить вес вытесненной жидкости и линию действия выталкивающей силы. В общем случае (например, когда тело погружено в жидкость, вращающуюся вместе с сосудом) это не так легко сделать.
Рассмотрим наиболее простой и часто встречающийся на практике случай. Пусть сосуд с жидкостью неподвижен в некоторой инерциальной системе отсчета. Тогда, как известно, вес любого неподвижного тела равен силе тяжести, действующей на тело. Поэтому и выталкивающая сила равна по модулю силе тяжести, действующей на вытесненную жидкость, и противоположно ей направлена. Линия действия выталкивающей силы будет проходить через центр тяжести вытесненного объема жидкости. Покажем это.
На вытесненный объем жидкости массой m (рис. 4) действуют две силы - сила тяжести \(~m \vec g\), приложенная в центре тяжести этого объема, и выталкивающая сила \(~\vec F_B\). Так как жидкость находится в равновесии, то по правилу рычага (см. § 62 «Физики 6-7» или § 47 «Физики 8») действующие на нее силы обратно пропорциональны плечам этих сил. Плечо силы тяжести относительно оси, проходящей через центр тяжести, равно нулю. Значит, и плечо выталкивающей силы тоже равно нулю, т. е. линия действия выталкивающей силы проходит через центр тяжести «вытесненного» объема жидкости.
Поскольку точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия, обычно выталкивающую силу помещают в центр тяжести вытесненной жидкости и называют эту точку также центром давлений.