Итак, пусть нам дано некоторое целое число a. Нам необходимо найти половину от этого числа. Сделать это можно с помощью обыкновенных дробей:
- Обозначим целое за единицу, тогда половина от единицы - это 1/2. Значит нам надо найти 1/2 от числа a.
- Чтобы найти 1/2 от числа a, мы должны умножить число a на часть, которую нам необходимо найти, то есть выполнить действие: a * 1/2 = a/2. То есть половина от числа a - это a/2.
- При этом, если мы ищем часть от целого числа, то результат будет меньше, чем исходное число.
Могут быть разные задачи на нахождении части от целого: если необходимо найти, например, четверть от числа a, то надо a * 1/4 = a/4. Если требуется найти 1/8 от числа a, то надо a * 1/8 = a/8. Нахождение любой части от целого выполняется умножением данного целого числа на часть, которую требуется найти.
Рассмотрим пример.
Как найти третью часть от числа 75
Нам дано целое - число 75. Нам необходимо найти от него третью часть, иначе - необходимо найти 1/3. Выполним действие умножение целого на часть: 75 * 1/3 = 25. Значит третья часть от числа 75 - это число 25. Можно сказать и так: число 25 меньше числа 75 в три раза. Или: число 75 больше числа 25 в три раза.
§ 20. Отыскание части от целого и целого но его части - Учебник по Математикe 5 класс (Зубарева, Мордкович)
Краткое описание:
Бывает, что нам нужно найти какую-то часть от числа, например, с определенного числа картофеля почистить только третью его часть. Или наоборот, когда нам говорят, что только четверть класса пришла на экскурсию, нам нужно узнать какое же общее количество учеников класса. Зная целое, можно найти от него какую-то заданную часть, точно так же, зная часть, можно определить какое же было целое. Об этом сегодня вы и узнаете из этого параграфа учебника.
Определение части от целого, и наоборот, напрямую связано с простыми дробями, которые вы уже изучали. Действия в таком случае происходят не с двумя числами, которые обозначаются дробью, а с одной дробью и одним целым числом. Например, найти 1/2 от 16 будет значить умножить 16 на 1/2, в этом случае знаменатель числа 16 = 1 и выражение можно записать как: 1/2 16/1 = 16/2 = 8.
Для нахождения целого числа по его части, используем обратный способ, и умножаем известное число на перевернутую дробь (то есть, делим на нее). По другому это можно объяснить так: для того, чтобы найти целое из его части, нужно то известное число, которое соответствует его части, разделить на числитель и умножить на знаменатель дроби, которая обозначает эту часть (что и является действием деления дроби, или умножения на перевернутую дробь – вы можете запомнить самый удобный для вас способ в решении таких задач). Таким образом, чтобы найти целое число, 3/4 которого равны 12, нужно 12: 3/4 = 12 4/3 = 48/3 = 16. Или способ №2, который убирает лишние математические действия – число х, 2/5 от которого равны 20: х = 20: 2 5 = 50.
Проверьте себя при выполнении заданий из учебника и не забудьте просмотреть материал, чтобы лучше его освоить и запомнить!
Правило нахождения числа по его дроби :
Чтобы найти число по данному значению его дроби, нужно это значение разделить на дробь.
Рассмотрим, как найти число по его дроби, на конкретных примерах.
Примеры .
1) Найти число, 3/4 которого равны 12.
Чтобы найти число по его дроби, это число делим на эту дробь. Чтобы, надо данное число умножить на число, обратное к дроби (то есть на перевернутую дробь). Чтобы , надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. 12 и 3 на 3. Так как в знаменателе получили единицу, ответ — целое число.
2) Найти число, если 9/10 его равняются 3/5.
Чтобы найти число по данному значению его дроби, это значение делим на эту дробь. Чтобы разделить дробь на дробь, первую дробь умножаем на обратную ко второй (перевернутую). Чтобы умножить дробь на дробь, числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Сокращаем 10 и 5 на 5, 3 и 9 — на 3. В результате получили правильную несократимую дробь, значит это — окончательный результат.
3) Найти число, 9/7 которого равны
Чтобы найти число по значению его дроби, это значение делим на эту дробь. Смешанное число и умножаем его на число, обратное ко второму (перевернутую дробь). Сокращаем 99 и 9 на 9, 7 и 14 — на 7. Поскольку получили неправильную дробь, необходимо выделить из нее целую часть.
Тема урока: Нахождение целого по его части.
Цель : развивать навык устного счета, развивать логическое мышление,
развивать умение работать самостоятельно и в группе,
воспитывать интерес к математике, воспитывать чувство дружбы и
взаимопонимания, воспитывать любовь к родному краю.
Ход урока.
1.Организационный момент. (Слайд № 1, 2)
Долгожданный дан звонок
Начинается урок.
2.Устный счет.
Подумаем!
а) Люда и Надя купили в буфете по булочке, а Лена забыла взять с собой деньги. Тогда Люда и Надя дали Лене по 1/2 булки. Кому больше досталось булки? (Лене досталась целая булка, а Люде и Наде по половине) (Слайд № 3)
б) У ежика 3 целых яблока, 10 половинок, 8 четвертинок. Сколько всего яблок у ежика? (У ежика 10 яблок) (Слайд № 4)
в) По вертикальному столбу высотой 6 м движется улитка. За день она поднимается на 4 м, а за ночь опускается на 3 м. сколько дней потребуется улитке, чтобы добраться до вершины? (3 дня) (Слайд № 5)
г) Сколько сантиметров:
1/4 м, 3/5 м, 6/10м. (25 см, 60 см, 60 см)
Сколько метров:
1/5 км, 4/5 км,7/10 км. (200м, 800м, 700 м) (Слайд № 6)
д) Какую часть отрезка АВ составляет отрезок СД. Найдите длину отрезка АВ, если отрезок СД – 5см (А
(Слайд № 7)
3.Работа с новой темой.
а) 1/8 отрезка АВ – 8 мм. Начертите отрезок АВ.
8 * 8 =64 мм = 6см 4мм (Слайд № 8)
д) Торт стоит 160 рублей. Его разрезали на 4 части. Сколько будет стоить 1/4 часть. Вы и два ваших друга пришли в кафе. Сколько денег вы заплатите, если каждый съест один кусок торта?
Решение (160:4=40(р.) стоит 1 кусок, 40*3=120 (р.) надо заплатить (Слайд №9, 10)
Физминутка (Слайд № 11)
в) М.д. 1\2 часа, 1/3часа, 1/4 часа, 1/10 часа. (30мин, 20мин, 15 мин, 6мин) (Слайд № 12)
г) Решение задачи
Протяженность реки Дон по Воронежской области составляет 530 км. Это составляет 1/3 часть всей длины реки Дон. Найдите длину реки Дон.
Решение: (530*3=1590 (км) длина реки Дон) (Слайд № 13, 14)
Береза живет 240 лет. Это составляет 1/5 часть жизни голубой ели. Сколько лет живет голубая ель.
240*5=1200(л) ж - живет голубая ель (Слайд № 15, 16, 17 )
Физминутка (Слайд № 18)
4. Закрепление изученного.
Задача № 227. (Слайд № 19)
Купили 5 мотков электрического провода, по 56 метров в каждом. Израсходовали 2/7 части всего провода. Сколько метров провода осталось?
Решение: (56*5=280м – всего провода, 280:7*2=80м – израсходовали, 280-80= 200(м) – провода осталось)
5.Повторение пройденного
а) Задача № 231. (самостоятельная работа) (Слайд № 20)
Лимоны раскладывали в корзины, по 100 штук в каждую. Сколько было лимонов, если заполнили 15 корзин и еще 30 лимонов осталось?
Решение: (100*15+30=1530 (л)- было)
б) Деление с остатком. № 229 (проверка) (Слайд № 21)
76:8=9 (ост.4) 8*9+4=76,
54:11=4 (ост. 10) 4*11+10=54
612:7=87 (ост.3) 87 *7+3=612
793:6= 132 (ост 1) 132*6+1=793
939:4 =234 (ост.3) 234 *4+3=939
в) Задача № 228. (Слайд № 22)
За 3 часа работы бульдозер разровнял 234 квадратных метра дороги. Сколько квадратных метров дороги разровняет бульдозер за 10 часов, если будет работать с такой же производительностью?
Решение: (234:3=78- за 1 час, 78* 10=780- за 10 часов)
6. Групповая работа по рядам
Решение задачи (по карточкам)
6 конфет составляет 1/7 всех конфет. Сколько всего конфет?
8 конфет составляет 1/3 всех конфет. Сколько всего конфет?
3 конфеты составляют 1/8 всех конфет. Сколько всего конфет
Все конфеты разделите всем ученикам нашего класса. Сколько конфет получит каждый?
Решение (6*7=42, 8*3=24, 3*8 =24, 42+24+24=90, 90:18=5)
7. Итог урока (Слайд № 23)
Каким действием находим целое по его части? (умножение)
Каким действием находим часть целого числа (деление)
8.Домашнее задание: стр. 48. № 229, 228. (Слайд № 24)
Урок подготовлен учителем начальных классов МОУ СОШ № 21
§ 1 Правила нахождения части от целого и целого по его части
В этом занятии сформулируем правила отыскания части от целого и целого по его части, а также рассмотрим решение задач с использованием этих правил.
Рассмотрим две задачи:
Сколько километров прошли туристы в первый день, если весь туристический маршрут 20 км.?
Найдите длину всего пути туристов.
Сравним эти задачи - в обеих за целое принят весь путь. В первой задаче целое известно - 20 км, а во второй - неизвестно. В первой задаче необходимо найти часть от целого, а во второй - целое по его части. Величина, известная в первой задаче 20 км, неизвестна во второй задаче, и наоборот, известное во второй задаче - 8 км, в первой необходимо найти. Такие задачи называются взаимно обратными, так как в них известные и искомые величины меняются местами.
Рассмотрим первую задачу:
Знаменатель 5 показывает, на сколько частей разделили целое, т.е. если целое 20 разделить на 5, узнаем, сколько километров составляет одна часть, 20: 5 = 4 км. Числитель 2 показывает, что туристы прошли 2 части пути, значит 4 надо умножить на 2, получится 8 км. В первый день туристы прошли 8 км.
Получилось выражение 20: 5 ∙ 2 = 8.
Перейдем ко второй задаче.
Следовательно, одна часть будет равна частному 8 и 2, получится 4, знаменатель 5, значит, всего частей 5.
4 умножить на 5, получится 20. Ответ 20 км длина всего пути.
Запишем выражение: 8: 2 ∙ 5 = 20
Используя смысл умножения и деления числа на дробь, правила отыскания части от целого и целого по его части можно сформулировать так:
Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, умножить на дробь, соответствующую этой части;
чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на соответствующую части дробь.
Соответственно решение задач можно записать теперь по другому:
для первой задачи 20 ∙ 2/5 = 8 (км),
для второй задачи 8: 2/5 = 20 (км).
Чтобы не было затруднений, решение подобных задач записываем так:
Целое: весь путь, известно - 20 км.
Ответ: 8 км.
Целое: весь путь - неизвестно.
Ответ: 20 км.
§ 2 Алгоритм решения задач на нахождение целого по его части и части целого
Составим алгоритм решения подобных задач.
Сначала проанализируем условие и вопрос задачи: выясним, что является целым, известно оно или нет, далее выясним, как представлена часть целого и что нужно найти.
Если необходимо найти часть от целого, то целое умножим на дробь, соответствующую этой части, если надо найти целое по его части, то число, соответствующее части разделим на дробь, соответствующую этой части. В результате получим выражение. Далее найдем значение выражения и запишем ответ, прочитав перед этим еще раз вопрос задачи.
Итак, прежде чем решать подобные задачи, необходимо ответить на следующие вопросы:
Какая величина прията за целое?
Известна ли эта величина?
Что требуется найти: часть от целого или целое по его части?
Подведем итоги: в этом уроке Вы познакомились с правилами отыскания части от целого и целого по его части, а также научились решать задачи по этим правилам.
Список использованной литературы:
- Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина, 2009.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./ под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования, М.: Просвещение, 2010.
- Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 кл.: учебник /Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2014.