Неравенства с параметром решу егэ. Системы уравнений с параметром

Доклад на ГМО учителя математики МБОУ СОШ №9

Молчановой Елены Владимировны

«Подготовка к ЕГЭ по математике: задачи с параметрами ».

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, я предлагаю взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение . Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.

Какие основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаю внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром - задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий. Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a ).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейду теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром, так как это мой любимый метод решения заданий данного типа.

Проанализировав все задания с параметрами, решаемыми графическим методом, я знакомство с параметрами начинаю с заданий ЕГЭ В7 2002 года:

При каком целом значении к уравнение 45х – 3х 2 – х 3 + 3к = 0 имеет ровно два корня?

Эти задания позволяют, во первых, вспомнить как строить графики с использованием производной, а во-вторых, объяснить смысл прямой у = к.

На последующих занятиях я пользуюсь подборкой легких и средних по уровню конкурсных задач с параметрами для подготовки к ЕГЭ, уравнений с модулем. Эти задания можно рекомендовать учителям по математике в качестве стартового комплекта упражнений для обучения работе с параметром, заключенным под знак модуля. Большинство номеров решаются графическим способом и предоставляют учителю готовый план урока (или двух уроков) с сильным учеником. Начальная подготовка к ЕГЭ по математике на упражнениях, близких по сложности к реальным номерам С5. Многие из предложенных заданий взяты из материалов для подготовки к ЕГЭ 2009 года, а некоторые – из интернета из опыта коллег.

1) Укажите все значения параметра p , при которых уравнение имеет 4 корня?
Ответ:

2) При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?
Ответ:

3) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 корня?
Ответ: а=2

4) При каких значениях параметра b уравнение имеет единственное решение? Ответ:

5) Найдите все значения m , при которых уравнение не имеет решений.
Ответ:

6) Найдите все значения а, при которых уравнение имеет ровно 3 различных корня. (Если значений а более одного, то в ответе запишите их сумму.)

Ответ: 3

7) При каких значениях b уравнение имеет ровно 2 решения?
Ответ:

8) Укажите такие параметры k , при которых уравнение имеет не менее двух решений.
Ответ:

9) При каких значениях параметра p уравнение имеет только одно решение?
Ответ:

10) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение (х + 1) имеет ровно 2 корня? Если значений а окажется несколько, то в ответ запишите их сумму.

Ответ: - 3

11) Найдите все значения а, при которых уравнение имеет ровно 3 корня? (Если значений а более одного, то в ответ запишите их сумму).

Ответ: 4

12) При каком наменьшем натуральном значении параметра а уравнение – = 11 имеет только положительные корни?

Ответ: 19

13) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение = 1 имеет ровно 3 корня? (Если значений а более одного, то в ответе запишите их сумму).

Ответ:- 3

14) Укажите такие значения параметра t , при которых уравнение имеет 4 различных решения. Ответ:

15) Найдите такие параметры m , при которых уравнение имеет два различных решения. Ответ:

16) При каких значениях параметра p уравнение имеет ровно 3 экстремума? Ответ:

17) Укажите все возможные параметры n, при которых функция имеет ровно одну точку минимума. Ответ:

Опубликованный комплект регулярно используется мной для работы со способным, но не самым сильным учеником, претендующим, тем не менее, на высокий балл ЕГЭ за счет решения номера С5. Подготовку такого ученика учитель проводит в несколько этапов, выделяя для тренировки отдельных навыков, необходимых для поиска и реализации длинных решений, отдельные уроки. Эта подборка подходит для стадии формирования представлений о плавающих рисунках в зависимости от параметра. Номера 16 и 17 составлены по образцу реального уравнения с параметром на ЕГЭ 2011г. Задачи выстроены в порядок возрастания их сложности.

Задание C5 по математике ЕГЭ 2012

Здесь мы имеем традиционную задачу с параметром, требующую умеренного владения материалом и применения нескольких свойств и теорем. Это задание является одним из самых сложных заданий Единого государственного экзамена по математике. Оно рассчитано, прежде всего, на тех, кто собирается продолжать образование в вузах с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Для успешного решения задачи важно свободно оперировать изученными определениями, свойствами, теоремами, применять их в различных ситуациях, анализировать условие и находить возможные пути решения.

На сайте подготовки к ЕГЭ Александра Ларина с 11.05.2012 года были предложены тренировочные варианты №1 – 22 с заданиями уровня «С», С5 некоторых из них были аналогичны тем заданиям, которые были на реальном экзамене. Например, найдите все значения параметра а, при каждом из которых графики функций f (х) = и g (х) = а(х + 5) + 2 не имеют общих точек?

Разберем решение задания С5 из экзамена 2012 года.

Задание С5 из ЕГЭ-2012

При каких значениях параметра a уравнение имеет не менее двух корней.

Решим эту задачу графически. Построим график левой части уравнения: и график правой части: и сформулируем вопрос задачи так: при каких значениях параметра a графики функций и имеют две или более общих точки.

В левой части исходного уравнения параметр отсутствует, поэтому мы можем построить график функции .

Будем строить это график с помощью функции :

1. Сдвинем график функции на 3 единицы вниз вдоль оси OY, получим график функции :

2. Построим график функции . Для этого часть графика функции , расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

Итак, график функции имеет вид:

График функции

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

D = a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y ) или в плоскости (x;a ).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a < 0 – решений нет; при a = 0 и a = 25/4 – четыре решения; при 0 < a < 6 – восемь решений; при a = 6 – семь решений; при

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a > 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = -ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а , при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

. Линейные уравнения.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

. Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a , при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a ).

. Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 < a < 1 показательная функция с основанием а убывает и неравенство равносильно неравенству . Так как x > 0 , то z (x ) > z (0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5, то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 < a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0) , где a = z (x 0) .

5) Целые числа расположены в этом интервале подряд, начиная с 1. Вычислим суммы последовательно идущих натуральных чисел, начиная с 1: 1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;… Поэтому указанная сумма будет больше 5 и меньше 10, только если число 3 лежит в интервале (0;x 0), а число 4 не лежит в этом интервале. Значит, 3 < x 0 ≤ 4 . Так как возрастает на , то z (3) < z (x 0) ≤ z (4) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:

1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ . Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,

{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х 2 = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1) . Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»

_________________________________________________________________________________________________________________________________

Выступление на заседании МО

Методы решения задач

с параметрами

Прокушева Наталья Геннадьевна

г. Лодейное Поле

2013-2014

Задачи с параметрами

Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.

Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.

Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Как правило, неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита: x , y , z , …, а параметры – первыми: a , b , c , …

Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение (неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.

При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.

Основные типы задач с параметрами

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Например, найти значения параметра, при которых:

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Основные методы решения задач с параметром

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y ), или в координатной плоскости (x ; a ).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.

1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Линейная функция: – уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .

Линейные уравнения с параметрами вида

Если , уравнение имеет единственное решение.

Если , тоуравнение не имеет решений , когда , и уравнение имеет бесконечно много решений , когда .

Пример 1. Решить уравнение | x | = a .

Решение:

a > 0, => x 1,2 = ± a

a = 0, => x = 0

a < 0, => решений нет.

Ответ: x 1,2 = ±a при a > 0; x = 0 при a = 0; решений нет при a < 0.

Пример 2. Решить уравнение |3 – x | = a .

Решение:

a > 0, => 3 – x = ± a , => x = 3 ± a

a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

a < 0, => решений нет.

Ответ: x 1,2 = 3 ±a при a > 0; x = 3 при a = 0; решений нет при a < 0.

Пример 3. Решить уравнение m ² x – m = x + 1.

Решение:

m ² x – m = x + 1

m ² x – x = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

Ответ:
при m ≠ ± 1; x Є R при m = –1; решений нет при m = 1.

Пример 4. а решить уравнение: ( a 2 – 4) x = a + 2 .

Решение: Разложим коэффициент при на множители. .

Если , уравнение имеет единственное решение: .

Если , уравнение не имеет решений.

Если , тоуравнение имеет бесконечно много решений .

Пример 6. При всех значениях параметра a решить уравнение:
.

Решение: ОДЗ: . При этом условии уравнение равносильно следующему: . Проверим принадлежность к ОДЗ: , если . Если же , то уравнение не имеет решений.

Пример 7. При всех значениях параметра а решить уравнение: | х + 3| – a | x – 1| = 4.

Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:

1) , если . Найденный будет решением, если .

2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же , то решением является любой .

3) , если . Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же , то решением является любой x > 1.

Ответ: при ; при ;

п ри ; является также решением при всех .

Пример 8. Найти все а , при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a = 2 – 3ax + 6a меньше 2 .

Решение: Найдем решения уравнения при каждом . , если . Решим неравенство: .

При уравнение не имеет решений.

Ответ : а Î (–5 , 4) .

Линейные неравенства с параметрами

Например: Решить неравенство: kx < b .

Если k > 0, то
. Если k < 0, то
. Если k = 0, то при b > 0 решением является любой x Є R , а при
решений нет.

Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.

Пример 1. Для всех значений параметра а решить неравенство
.

Решение:

. Если скобка перед x положительна, т.е. при
, то
. Если скобка перед x отрицательна, т.е. при
, то
. Если же a = 0 или a = , то решений нет.

Ответ:
при
;
при
;

решений нет при a = 0 или a = .

Пример 2 . Для всех значений параметра а решить неравенство |х – а| – |x + a | < 2a .

Решение:

При a =0 имеем неверное неравенство 0 < 0, т.е. решений нет. Пусть a > 0, тогда при x < –a оба модуля раскрываются с минусом и получаем неверное неравенство 2a < 2a , т.е. решений нет. Если x Є [–a ; a ] , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство –2x < 2a , т.е. x > –a , т.е., решением является любой x Є (–a ; a ]. Если x > a оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство –2a < 2a , т.е. , решением является любой x Є (a ; +∞). Объединяя оба ответа, получим, что при a > 0 x Є (–a ; +∞).

Пусть a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a . Т.о., при a < 0 решений нет.

Ответ: x Є (–a ; +∞) при a > 0, решений нет при
.

Замечание. Решение данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и –а .

Пример 3. Найти все а , при каждом из которых все решения неравенства
удовлетворяют неравенству 2x – a ² + 5 < 0.

Решение:

Решением неравенства |x | ≤ 2 является множество A =[–2; 2], а решением неравенства 2x – a ² + 5 < 0 является множество B = (–∞;
) . Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В (). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда .

Ответ: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Пример 4. Найти все значения a , при которых неравенство
выполняется для всех x из отрезка .

Решение:

Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо выяснить, какой корень больше.

–3a + 2 < 2a + 4
и –3a + 2 > 2a + 4
. Т.о., при
x Є (–3a + 2; 2a + 4) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка , нужно, чтобы

При
x Є (2a + 4; –3a + 2) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка , нужно, чтобы

При a = – (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид: .

Ответ:
.

Пример 5. а неравенство справедливо при всех отрицательных значениях х ?

Решение:

Функция монотонно возрастает, если коэффициент при x неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при x отрицательный.

Выясним знак коэффициента при

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a ² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

a ≤ –3,

Пусть a ≥ 1. Тогда функция f (x ) монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если f (x ) ≤ 0 <=> 3a ² – a – 14 ≤ 0 <=>
.

a ≤ –3,

Вместе с условиями a ≥ 1; получим:

Пусть –3 < a < 1. Тогда функция f (x ) монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.

Ответ :
.

2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

Квадратичная функция:
.

В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме.

Пример 1 . При каких значениях a уравнение x ² – ax + 1 = 0 не имеет действительных корней?

Решение:

x ² – ax + 1 = 0

D = a ² – 4 · 1 = a ² – 4

a ² – 4 < 0 + – +

( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2

Ответ : при a Є (–2; 2)

Пример 2. При каких значениях а уравнение а (х ² – х + 1) = 3 х + 5 имеет два различных действительных корня?

Решение:

а (х ² – х + 1) = 3 х + 5, а ≠ 0

ах ² – ах+ а – 3 х – 5 = 0

ах ² – ( а + 3) х + а – 5 = 0

D = ( a +3)² – 4 a ( a – 5) = a ² +6 a + 9 – 4 a ² + 20 a = –3 a ² + 26 a + 9

–3 a ² + 26 a + 9 > 0

3 a ² – 26 a – 9 < 0

D = 26² – 4 · 3 · (–9) = 784

a 1 =
; a 2 =
+ – +

0 9

Ответ: при a Є (–1/3; 0) U (0; 9)

Пример 3. Решить уравнение
.

Решение:

ОДЗ : x ≠1, x ≠ a

x – 1 + x – a = 2, 2 x = 3 + a ,

1)
; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2)
; 3 + a ≠ 2 a ; a ≠ 3

Ответ:
при a Є (–∞; –1) U (–1; 3) U (3; +∞);

решений нет при a = –1; 3 .

Пример 4 . Решить уравнение | x ²–2 x –3 | = a .

Решение:

Рассмотрим функции y = | x ²–2 x –3 | и y = a .

При a < 0 нет решений;
при a = 0 и a > 4 два решения;
при 0 < a < 4 – четыре решения;
при a = 4 – три решения.

Ответ:

при a < 0 нет решений;
при a = 0 и a > 4 два решения;
при 0 < a < 4 – четыре решения;
при a = 4 – три решения.

Пример 5. Найти все значения a , при каждом из которых уравнение | x ²–( a +2) x +2 a | = | 3 x –6 |
имеет ровно два корня. Если таких значений a больше одного, в ответе укажите их произведение.

Решение:

Разложим квадратный трехчлен x ²–( a +2) x +2 a на множители.
;
;
;

Получим | ( x –2)( x – a ) | = 3 | x –2 |.
Это уравнение равносильно совокупности

Поэтому данное уравнение имеет ровно два корня, если a + 3 = 2 и a – 3 = 2.
Отсюда находим, что искомыми значениями a являются a 1 = –1; a 2 = 5; a 1 · a 2 = –5.

Ответ: –5.

Пример 6. Найти все значения a , при которых корни уравнения ax ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 положительны .

Решение:

Контрольная точка a = 0, т.к. меняет суть уравнения.

1. a = 0 –2x + = 0;

Ответ: a Є U .

Пример 7. При каких значениях параметра a уравнение | x ² – 4 x + 3 | = ax имеет 3 корня.

Решение:

Построим графики функций y = | x ² – 4 x + 3 | и y = ax .

На отрезке построен график функции
.
Данное уравнение будет иметь три корня, если график функции y = ax будет являться касательной к графику y = x ²+ 4 x – 3 на
отрезке .

Уравнение касательной имеет вид y = f (x 0 ) + f ’(x 0 )(x – x 0 ),

Т.к. уравнение касательной y = a , получим систему уравнений

Т.к. x 0 Є ,

Ответ: при a = 4 – 2
.

Квадратные неравенства с параметрами

Пример. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых среди решений неравенства
нет ни одной точки отрезка .

Решение:

Сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка .
Пусть
, ax = t ²

t ≥ 0

При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически. x можно выразить через t , если a ≠ 0. Поэтому случай, когда a = 0, рассмотрим отдельно.
1.Пусть a = 0, тогда х > 0, и заданный отрезок является решением.
2.Пусть a ≠ 0, тогда
и неравенство
примет вид
,

Решение неравенства зависит от значений a , поэтому придется рассмотреть два случая.
1) Если a >0, то
при
, или в старых переменных,

Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка , тогда и только тогда, когда выполнены условия a ≤ 7,

16a ≥ 96. Отсюда, a Є .
2). Если а < 0, то
;
; t Є (4a ; a ). Так как t ≥ 0, то решений нет.

Ответ: .

Иррациональные уравнения с параметрами

При решении иррациональных уравнений и неравенств с параметром, во-первых, следует учитывать область допустимых значений. Во-вторых, если обе части неравенства – неотрицательные выражения, то такое неравенство можно возводить в квадрат с сохранением знака неравенства.
Во многих случаях иррациональные уравнения и неравенства после замены переменных сводятся к квадратным.

Пример 1. Решить уравнение
.

Решение:

ОДЗ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.

x + 1 = a ².

Если x = a ² – 1, то условие выполняется.

Ответ: x = a ² – 1 при а ≥ 0; решений нет при a < 0.

Пример 2. Решить уравнение
.

Решение:

ОДЗ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

a – x ≥ 0; x ≤ a ;

x + 3 = a – x ,

2x = a – 3,

<=>
<=>
<=> a ≥ –3.

Ответ:
при a ≥ –3; решений нет при a < –3.

Пример 3. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от значений параметра а ?

Решение:

Область допустимых значений уравнения: x Є [–2; 2]

Построим графики функций. График первой функции – это верхняя половина окружности x ² + y ² = 4. График второй функции – биссектрисы первого и второго координатных углов. Из графика первой функции вычтем график второй и получим график функции
. Если заменить у на а , то последний график функции есть множество точек (х; а), удовлетворяющих исходному уравнению.

По графику видим ответ.

Ответ: при а Є (–∞; –2) U (1; +∞), корней нет;

при а Є [–2; 2), два корня;

при а = 1, один корень.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение
имеет единственное решение?

Решение:

1 способ (аналитический):

Ответ:

2 способ (графический):

Ответ: при а ≥ –2 уравнение имеет единственное решение

Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение = 2 + х имеет единственное решение.

Решение:

Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции:
у 1 = 2 + х и у 2 =

Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (–2; 0).
График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а = 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ на соответсвующее значение влево (при положительных а ) или вправо (при отрицательных а ) (рис.2)

Из рисунка видно, что при а < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Ответ: при a ≥ –2 уравнение имеет единственное решение.

Тригонометрические уравнения с параметрами.

Пример 1. Решите уравнение sin (– x + 2 x – 1) = b + 1.

Решение:

Учитывая нечетность функции
, данное уравнение сведем к равносильному
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

Решений нет.

5. b Є(–1; 0)

6. b Є(–2; –1)

Пример 2. Найдите все значения параметра p, при которых уравнение
не имеет решений.

Решение:

Выразим cos 2x через sinx .

Пусть
тогда задача свелась к нахождению всех значений p , при которых уравнение не имеет решений на [–1; 1]. Уравнение алгоритмически не решается, поэтому решим задачу, используя график. Запишем уравнение в виде , и теперь эскиз графика левой части
строится несложно.
Уравнение не имеет решений, если прямая y = p + 9 не пересекает график на отрезке [–1; 1], т. е.

Ответ: p Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Системы уравнений с параметрами

Системы двух линейных уравнений с параметрами

Система уравнений

Решениями системы двух линейных уравненийявляются точки пересечения двух прямых: и .

Возможны 3 случая:

1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. . В этом случае система имеет единственное решение.

2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. .

В этом случае система решений не имеет .

3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. . В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.