«Нестандартные методы решения уравнений»

Кубанова Ольга Николаевна, учитель математики,

МБОУ «Плесецкая средняя школа»

« Процесс решения уравнения -

есть просто акт приведения его к более простой форме.

Но в некоторых формах его нелегко прочесть.

Решение его аналогично переводу

незнакомой фразы на понятный нам язык»

Для решения большинства уравнений, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь их решать не только с помощью стандартных приёмов, предназначенных для вполне определённых типов уравнений, но и теми «нестандартными» методами, о которых я хочу рассказать.

Суть этих методов – реализовать «иной взгляд» на задачу, что позволяет, не выходя за рамки школьной программы, существенно упростить решение некоторых задач, то есть мы будем применять хорошо известные утверждения, но в ситуациях, где ими пользуются сравнительно редко.

Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, нестандартные методы предусматривают формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей у детей, а также повышение качества обучения математике.

Я остановлюсь на методе, где для решения уравнений используются свойства функций, входящих в уравнение.

Исследование области определений и области значений функций:

Заметим, что и и

Поэтому равенство невозможно.

Ответ: нет корней.

Свойства монотонности функций:

Это уравнение можно решить стандартным способом, а можно проще. В левой части уравнения – возрастающая функция, а в правой – убывающая. Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня. Число 1 – корень уравнения, что можно проверить подстановкой.

Возводить в пятую степень представляется бесперспективным. Пусть , тогда . Рассмотрим функции: и . Эти функции взаимно обратные, возрастает, то равносильно уравнению .

Корень один, т.к. слева – возрастающая функция, справа – убывающая функция.

Использование « неотрицательности» функций:

.

Все слагаемые левой части неотрицательны, следовательно равенство возможно, только если каждое из слагаемых равно нулю.

Эти два равенства противоречат друг другу. Система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Чтобы использовать эти методы для решения уравнений, необходимо хорошо знать теоретический материал. Используя эти методы, экономится время, что позволяет решить больше заданий. А это немало важно при написании контрольных работ и сдаче ЕГЭ.

Свойства функций:

Т-1:

Использование суперпозиций функций:

Т -2:

«Неотрицательность» функций.

Свойства функций:

Область определения и область значения квадратного корня.

Свойства монотонности функции:

Т-1: Пусть у=f (х)- функция, возрастающая на промежутке L , а у=g (x )- функция, убывающая на этом же промежутке L . Тогда уравнение f (x )=g (x ) имеет на промежутке L не более одного корня.

Использование суперпозиций функций:

Т -2: Если функции f (x ) и g (x ) взаимно обратны и функция f (x ) возрастает, то уравнение f (x )=g (x ) и уравнение f (x )=x равносильны.

«Неотрицательность» функций.

Свойства функций:

Область определения и область значения квадратного корня.

Свойства монотонности функции:

Т-1: Пусть у=f (х)- функция, возрастающая на промежутке L , а у=g (x )- функция, убывающая на этом же промежутке L . Тогда уравнение f (x )=g (x ) имеет на промежутке L не более одного корня.

Использование суперпозиций функций:

Т -2: Если функции f (x ) и g (x ) взаимно обратны и функция f (x ) возрастает, то уравнение f (x )=g (x ) и уравнение f (x )=x равносильны.

«Неотрицательность» функций.

Бородич

Ирина Сергеевна

Учебное пособие для учителя по элективному курсу математики для 11 класса (физико – математический профиль)

«Нестандартные методы решения задач по математике»

Введение. В современных условиях содержательной модернизации образования возникает континуум проблем, имеющий социально – личностные характеристики и тормозящие позитивные изменения.

Математическое образование в системе среднего общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловно практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

По данным исследований PIZA в России остается весьма низким уровень математических компетентностей учащихся, хотя мы привыкли гордиться достижениями академической науки.

Важнейшей проблемой сегодняшнего математического образования является дефицит развития формально – операциональных структур интеллекта (логического мышления) и низкая мотивация к теоретической интеллектуальной деятельности у большинства школьников.

С другой стороны, к этому дефициту привели авторитарные методы педагогики, не способствовавшие развитию интеллекта у детей и коллективные методы работы, снижавшие интерес к математической науке.

Поэтому важнейшей стороной сегодняшнего образования становится индивидуализация образовательного процесса при изучении математики и тьюторское сопровождение педагогами развития интеллекта ребенка.

Актуальность. Курс по нестандартным методам решения математических задач актуален, прежде всего, тем, что делает образование более открытым, расширяя интеллектуальные возможности старшеклассников. Во - вторых, данный курс обеспечивает более свободное владение математическим инструментарием в рамках итоговой аттестации. С другой стороны, математика, являясь надпредметной областью знаний, способствует развитию логического мышления, интеллекта в целом и коммуникативных умений, способствующих самореализации личности. Курс актуален и в связи с расширением прикладного применения математических исчислений в других областях знаний.

Курс поможет учащимся оценить свои потребности, возможности и сделать обоснованный выбор дальнейшего жизненного пути.

Начиная работу по математике с младшими подростками, я в 6-7 классах, в рамках разделения предмета на два раздела, провожу тест анализа математических способностей, дифференцируя полученные результаты для формирования пакетов заданий: учащимся с низким уровнем креативности – развивающие пакеты, со средним уровнем креативности – задания повышенной сложности, с высоким уровнем – творческие задания. Оценивая эффект мероприятий, я повторяю это тестирование в 8-9 и 10-11 классах. Результат показал, что такая дифференцировка способствует более интенсивному и гармоничному развитию обучающихся.

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Курс «Нестандартные методы решения задач по математике» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в общий курс математики средней школы, но необходимы при дальнейшем ее изучении, при итоговой аттестации в форме ЕГЭ. Появление задач, решаемых нестандартными методами, на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, способами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащихся и их математической культуры.

Решению задач такого типа в школьной программе не уделяется должного внимания, большинство учащихся (не физико-математических профильных групп) либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы задач по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для учащихся 11 классов физико – математического профиля.

Многообразие нестандартных задач охватывает весь курс школьной математики, поэтому владение приемами их решения можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Изучение нестандартных методов решения математических задач дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, подготовиться для дальнейшего изучения математики, научиться решать разнообразные задачи различной сложности.

Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ и экзаменов при поступлении в ВУЗы.

Новизна. Курс является инновационным, так как способствует более глубокому освоению математической науки в старших классах, как в профильных группах, так и на базовом уровне. Новизной является построение курса по методам решения математических задач и способам реализации математических знаний. Курс является своего рода тренажером при подготовке к итоговой аттестации и профессиональном выборе математических специальностей.

Обзор литературы. Данный курс предназначена для учащихся 11 класса физико-математического профиля. Содержание учебного материала соответствует целям и задачам профильного обучения. В начале курса обучения по элективному курсу была проведена диагностика математической креативности. Методологически, опираюсь в теоретической части на работы В. П. Супруна «Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач по математике» и Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: .

Основная цель курса:

Создание условий для развития логического мышления, математической культуры и интуиции учащихся посредством решения задач повышенной сложности нетрадиционными методами;

Задачи курса:

формировать у учащихся компетентности по решению нестандартных задач;

изучение курса предполагает формирование у учащихся интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к ЕГЭ и к дальнейшему обучению в ВУЗе;

развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся;

создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

развивать умение самостоятельно приобретать и применять знания.

Общими принципами отбора содержания курса являются:

Системность

Целостность

Научность.

Доступность, согласно психологическим и возрастным особенностям учащихся профильных классов.

Курс содержит материал необходимый для достижения запланированных целей. Данный курс является источником, который расширяет и углубляет обучение, обеспечивает интеграцию необходимой информации для формирования математического мышления, логики и изучения смежных дисциплин.

Место данного курса определяется необходимостью подготовки к профессиональной деятельности, учитывает интересы и профессиональные склонности старшеклассников, что позволяет получить более высокий конечный результат.

Концепция курса.

При изучении курса математики старшей школы на базовом уровне продолжается изучение разделов: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей», вводится линия «Начала математического анализа».

В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений;

самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.

В профильном курсе содержание образования развивается в следующих направлениях :

систематизация сведений о числе; формирование представлений числовых множеств, как способе построения нового математического аппарата необходимого для решения задач окружающего мира и внутренних задач математики; совершенствование техники вычислений;

развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем;

систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;

развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире;

совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях;

формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе.

в ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;

планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера;

построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;

самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.

В российских школах начинается поэтапный переход на федеральные государственные образовательные стандарты второго поколения общего образования (далее – ФГОС), основной миссией которых является повышение качества образования. Особенностью 2011/2012 учебного года является введение ФГОС начального общего образования в начальной школе и последовательная подготовка к введению ФГОС основного общего образования. Поэтому уже сейчас необходимо понять его теоретико-методологическую основу, структуру и содержание.

ФГОС будет обеспечен гарантиями государства относительно того, что образовательные результаты будут достигаться в условиях определенной информационно-образовательной среды, которую составляют: педагогические кадры, материально-техническое, финансово-экономическое, информационное обеспечение.

Хотя содержание математического образования представлено в виде традиционных содержательных разделов: «Арифметика», «Алгебра», «Геометрия», «Математический анализ», «Вероятность и статистика», вместе с тем предполагается знакомство с историей математики и овладение следующими общематематическими понятиями и методами:

определения и начальные (неопределяемые) понятия, доказательства, аксиомы и теоремы, гипотезы и опровержения, контрпример, типичные ошибки в рассуждениях;

прямая и обратная теорема, существование и единственность объекта, необходимое и достаточное условие верности утверждения, доказательство от противного, метод математической индукции;

математическая модель, математика и задачи физики, химии, биологии, экономики, географии, лингвистики, социологии и пр.

Исходя из вышепредставленных позиций, нестандартные методы решения задач по математике являются инструментом формирования, как математического мышления, так и математических компетентностей, т.е. готовности применять нестандартные методы в решении теоретических и прикладных математических исчислений.

При этом математические модели тех или иных процессов природы и технологии требуют математической обработки, не всегда традиционными способами.

Такие подходы к применению и использованию математики способствуют формированию через личностные, действия личностных (самосовершенствование и самоуважение), метапредметных (формирование целей, задач, процессов их решения) и предметных результатов.

Нестандартные подходы к освоению математики, как надпредметной области делает образование открытым, а образовательную среду развивающей.

Темы реферативных, исследовательских и проектных работ :

История математики

Математики эпохи возрождения

Число как основное понятие математики

Чтение и запись натуральных чисел

Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность

Математическая интуиция

Числа, которые преобразили мир

Бернулли

Иррациональные уравнения

Применение графиков в решении уравнений

Курс предназначен для учащихся 11 физико-математических класса.

Объем часов – 33 часа (по 1 часу в неделю).

Курс разделен на модули, по три часа каждый, объединённых темой решения задач.

Учебно-тематический план

Темы и разделы

Всего часов

В том числе

Формы проведения

Введение

Личностные

Мини - лекция

1. Метод функциональной подстановки

Регулятивные

Семинар, тренинг

2. Метод тригонометрической подстановки

Познавательные, личностные и регулятивные

Семинар, тренинг

3. Методы, основанные на применении численных неравенств

Регулятивные и коммуникативные

Семинар, тренинг

4. Методы, на основе использования монотонности функций

Регулятивные и коммуникативные

Семинар, тренинг

5. Методы решения функциональных уравнений

Семинар, тренинг

6. Методы, основанные на применении векторов

Личностные и регулятивные

Семинар, тренинг

7. Комбинированные методы

Познавательные, личностные и регулятивные, коммуникативные

Технология критического мышления

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

Регулятивные и коммуникативные

Семинар, тренинг

9. Методы решения симметрических систем уравнений

Регулятивные

Семинар, тренинг

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

Регулятивные

Семинар, тренинг

ИТОГОВОЕ занятие

Коммуникативные

Урок – конференция (защита проектных, исследовательских и реферативных работ)

Введение: 1 час (1 – теоретический)

Значение математики как науки и в жизни человека. Прикладное значение. Красота нестандартных способов решения задач. Распределение тем проектных, исследовательских и реферативных работ.

1.Метод функциональной подстановки: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Метод функциональной подстановки. Новая переменная , её применение. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Уравнения вида х 2 +(ах) 2 2 =с. Возвратные уравнения. Ряд других уравнений, решение которых требует введения новой переменной.

2.Метод тригонометрической подстановки: 3 часа (1час – семинар; 2 часа – тренинг)

Метод тригонометрической подстановки. Замена неизвестной переменной х тригонометрической функцией: х= или х= . Иррациональные уравнения. Рациональные уравнения. Показательные уравнения. Системы уравнений.

3.Методы, основанные на применении численных неравенств: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на применении численных неравенств. Неравенство Коши. Неравенство Бернулли. Неравенство Коши-Буняковского.

4.Методы на основе использования монотонности функций: 3 часа (1час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы на основе использования монотонности функций. Уравнение вида f (x )=g (x ). Исследование функций на монотонность.

5.Методы решения функциональных уравнений: 3часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы решения функциональных уравнений. Уравнения вида f (f (…(f (x ))…))=x . Уравнения вида f (g (x ))=f (h (x )).

6.Методы, основанные на применении векторов: 3 часа (1час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на применении векторов. Вектор в трёхмерном пространстве. Длина вектора. Сумма и разность двух векторов. Коллинеарные векторы. Неравенство треугольника.

7.Комбинированные методы: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Комбинированные методы. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения. Логарифмические уравнения. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Системы уравнений. Доказательства неравенств.

8.Методы, основанные на использовании ограниченности функций: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на использовании ограниченности функций. Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции. Функции, содержащие модуль, степень, корень с четной степенью.

9.Методы решения симметрических систем уравнений: 3 часа (1 час –семинар; 2 часа – тренинг)

Методы решения симметрических систем уравнений. Системы уравнений с симметрическим вхождением слагаемых или сомножителей.

10.Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа: 3часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы решения уравнений, содержащих целые и дробные части числа. Целая часть действительного числа. Дробная часть действительного числа.

11.Итоговое занятие: 2часа (Урок – конференция (защита проектных, исследовательских и реферативных работ))

Реализация формирования универсальных учебных действий в рамках внедрения ФГОС II поколения к профильному уровню старшей школы

ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Оценивать ситуации и поступки (ценностные установки, нравственная ориентация)

Делать выбор в отношении поступков, формируя установки на социально одобряемые и нравственные модели поведения, разрешая моральные противоречия на основе:

Общечеловеческих ценностей и российских ценностей, в том числе человеколюбия, уважения к труду, культуре;

Важности исполнения возрастных социальных ролей («сына», «дочери», роли «хорошего ученика»), важности учёбы и познания нового;

Важности бережного отношения к здоровью человека и к природе;

Важности развития духовного потенциала личности (различения «красивого» и «некрасивого», потребности в «прекрасном» и отрицания «безобразного», тяги к самопознанию и самосоверщенствованию);

Важности образования, здорового образа жизни, красоты природы и творчества.

Прогнозировать оценки одних и тех же ситуаций с позиций разных людей, отличающихся национальностью, мировоззрением, положением в обществе и т.п. (толерантное мышление и поведение)

Учиться замечать и признавать расхождения своих поступков со своими заявленными позициями, взглядами, мнениями.

Объяснять смысл своих оценок, мотивов, целей

(личностная саморефлексия, способность к саморазвитию, мотивация к познанию, учёбе)

ОСМЫСЛЕНИЕ

Объяснять положительные и отрицательные оценки, в том числе неоднозначных поступков, с позиции общечеловеческих и российских гражданских ценностей.

Объяснять отличия в оценках одной и той же ситуации, поступка разными людьми (в т.ч. и самим собой), как представителями разных мировоззрений, разных групп общества.

Собственного социального выбора и выбора моделей поведения.

САМООСОЗНАНИЕ

Объяснять самому себе:

Позитивная «Я – концепция»

- «что во мне хорошо, а что плохо» (личные качества, черты характера), «что я хочу» (цели, мотивы), «что я могу» (результаты).

Самоопределяться в жизненных ценностях (на словах) и поступать в соответствии с ними, отвечая за свои поступки (личностная позиция, российская и гражданская идентичность)

САМООПРЕДЕЛЕНИЕ

Осознавать себя гражданином России и ценной частью многоликого изменяющегося мира, в том числе

Объяснять, что связывает тебя:

с родными, с семьей

с твоими близкими, друзьями, одноклассниками

с земляками, народом

с твоей Родиной

со всеми людьми

с природой

Объяснять, что связывает тебя с историей, культурой, судьбой твоего народа и всей России;

Испытывать чувство гордости за свой народ, свою Родину, сопереживать им в радостях и бедах и проявлять эти чувства в добрых поступках;

Отстаивать (в пределах своих возможностей) гуманные, равноправные, гражданские демократические порядки и препятствовать их нарушению;

Искать свою позицию в многообразии общественных и мировоззренческих позиций, эстетических и культурных предпочтений;

Стремиться к взаимопониманию с представителями иных культур, мировоззрений, народов и стран, на основе взаимного интереса и уважения;

Уважать иное мнение, историю и культуру других народов и стран, не допускать их оскорбления, высмеивания;

Осуществлять добрые дела, полезные другим людям, своей стране, в том числе отказываться ради них от каких-то своих желаний.

Определение своего места в мире природы и мире культуры;

Формировать бесконфликтную модель поведения, способствующую ненасильственному и равноправному преодолению конфликта.

Делать осознанный выбор модели поведения в неоднозначно оцениваемых ситуациях, на основе:

Культуры, народа, мировоззрения, к которому ощущаешь свою причастность,

Базовых российских гражданских ценностей,

Общечеловеческих, гуманистических ценностей, в том числе ценности мирных добрососедских взаимоотношений людей разных культур, позиций, мировоззрений,

Известных и простых общепринятых правил «доброго», «безопасного», «красивого», «правильного» поведения,

Сопереживания в радостях и в бедах «своим»: близким, друзьям, одноклассникам,

Сопереживания чувствам других не похожих на тебя людей, отзывчивости к бедам всех живых существ.

Формировать адекватную самооценку и ответственность за совершаемые поступки и близких людей.

РЕГУЛЯТИВНЫЕ УУД

Определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий по решению проблемы (задачи)

Определять цель учебной деятельности и целеполагание обучения самостоятельно, искать средства её осуществления.

Находить и формулировать основную учебную проблему и идею вначале вместе с учителем, а затем, самостоятельно, выбирать тему проекта с помощью учителя и самостоятельно.

Составлять план выполнения задач, решения проблем творческого и поискового характера, выполнения проекта совместно с учителем.

Освоить основы исследовательской и проектной деятельности через учебную и внеурочную работу.

Осуществить действия по реализации плана

Работая по проекту, планировать его этапы с целью выполнения и, при необходимости, корректировать этапы его реализации.

Научиться работать с информацией, используя её при реализации планов и решении учебных и исследовательских задач (справочная литература, сложные приборы, средства ИКТ).

Соотнести результат своей деятельности с целью и оценить его

В диалоге с учителем учиться вырабатывать критерии оценки и определять степень успешности выполнения своей работы и работы всех, исходя из имеющихся критериев, совершенствовать критерии оценки и пользоваться ими в ходе оценки и самооценки.

В ходе представления проекта учиться давать оценку его результатов.

Понимать причины своего неуспеха и находить способы выхода из этой ситуации.

Извлекать информацию, ориентироваться в своей системе знаний и осознавать необходимость нового знания, делать предварительный отбор источников информации для поиска нового знания, добывать новые знания (информацию) из различных источников и разными способами

Самостоятельно предполагать, какая информация нужна для решения предметной учебной задачи, состоящей из нескольких шагов.

Самостоятельно отбирать для решения предметных учебных задач необходимые словари, энциклопедии, справочники, электронные диски.

ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ УУД

Сопоставлять и отбирать информацию, полученную из различных источников (словари, энциклопедии, справочники, электронные диски, сеть Интернет).

Формировать собственную позицию в мире информации

Перерабатывать информацию для получения необходимого результата, в том числе и для создания нового продукта

Выполнять универсальные логические действия:

Выполнять анализ (выделение признаков),

Производить синтез (составление целого из частей, в том числе с самостоятельным достраиванием),

Выбирать основания для сравнения, сериации, классификации объектов,

Прогнозировать ожидаемый результат решения учебных задач,

Устанавливать аналогии и причинно-следственные связи,

Выстраивать логическую цепь рассуждений,

Относить объекты к известным понятиям.

Создавать модели с выделением существенных характеристик объекта и представлением их в пространственно-графической или знаково-символической форме, преобразовывать модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Использовать информацию в проектной деятельности под руководством учителя-консультанта.

Преобразовывать информацию из одной формы в другую и выбирать наиболее удобную для себя форму

Представлять информацию в виде таблиц, схем, опорного конспекта, в том числе с применением средств ИКТ.

Составлять простой и сложный план текста.

Уметь передавать содержание в сжатом, выборочном или развёрнутом виде.

КОММУНИКАТИВНЫЕ УУД

Доносить свою позицию до других, владея приёмами монологической и диалогической речи

Осваивать эффективную речевую деятельность средствами родного языка и его эмоциональной составляющей.

Оформлять свои мысли в устной и письменной речи с учетом своих учебных и жизненных речевых ситуаций, в том числе с применением средств ИКТ.

При необходимости отстаивать свою точку зрения, аргументируя ее. Учиться подтверждать аргументы фактами.

Учиться критично относиться к собственному мнению.

Понять другие позиции (взгляды, интересы)

Слушать других, пытаться принимать другую точку зрения, быть готовым изменить свою точку зрения.

Анализировать изучаемый текст, осуществляя при этом:

Сопоставляя её с собственной позицией по данному вопросу (проблеме);

Вычитывать все виды текстовой информации (фактуальную, подтекстовую, концептуальную).

Проводить рефлексию собственного отношения к идеи произведения;

Договариваться с людьми, согласуя с ними свои интересы и взгляды, для того чтобы сделать что-то сообща

Организовывать учебное взаимодействие в группе (распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.).

Принимать чужое мнение в группе.

Предвидеть (прогнозировать) последствия коллективных решений.

Дидактическое обеспечение

Курс носит характер углубления изучения математики в профильных группах и в рамках подготовки к конкурсам и олимпиадам. Курс предполагает дополнительный разбор наиболее сложных методик решения математических задач и уравнений. При этом в основе курса лежат, в основном две формы деятельности: семинары и тренинги. На семинарах, имеющих характер тьюториалов, рассматриваются теоретические аспекты математической науки. Целью изучения является освоение нестандартных методов решения сложных математических задач. При этом, в связи со сложностью и неоднозначностью методов, у обучающихся в тренинговом режиме вырабатывается логическое мышление и математические компетентности.

Занятия выстраиваются с активным участием обучающихся, которые: отслеживают пути решения, формируют критическое мышление и адекватную оценку и самооценку. При этом формируются все универсальные учебные действия и как следствие, ключевые образовательные компетентности:

аналитико - деятельностная,

прогностическая,

информационная,

коммуникативная

рефлексивная.

Все занятия строятся по плану, выработанному мною в процессе практики

при знакомстве с новыми способами решения - работа учителя с демонстрацией примеров;

при совершенствовании;

тренинговые занятия;

индивидуальная работа;

анализ готовых решений;

самостоятельная работа с тестами;

На занятиях используются различные формы и методы работы с учащимися:

Семинары, мини – лекции, круглые столы, мастер – классы, тренинги, работа индивидуальная и в малых группах.

Методы преподавания определяются целями курса, направленными на формирование математических способностей учащихся и основных компетентностей в предмете.

В тематическом планировании выделяется практическая часть, которая реализуется на знаниях учащихся, полученных в ходе курса теоретической подготовки.

По окончанию каждого раздела предполагается промежуточный контроль в форме обучающих тестов и других активных методов.

Результативность курса определяется в ходе итогового урока-конференции, выстроенного на защите поисково-исследовательских, проектных и реферативных работ.

Материал курса построен с учётом использования активных методов обучения, а рациональное распределение разделов программы позволит получить качественные знания и достичь запланированных результатов. Курс обеспечивается необходимым для её реализации учебно-методическим комплексом.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии.

Используемые технологии: технология развития критического мышления, проблемная технология, технологию решения исследовательских задач (ТРИЗ), информационно - коммуникативную технология.

Литература для учителя:

Азаров А. И. Математика для старшеклассников: Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач /А. И. Азаров, С. А. Барвенов.- Мн.: Аверсэв, 2004.

Епифанова Т. Н. Отыскание экстремальных значений функций различными

способами / Т. Н. Епифанова Математика в школе. – №4. – 2000.

Мухаметзянова Ф.С. методист кафедры физико-математического образования УИПКПРО, Заслуженный учитель РФ Особенности преподавания учебного предмета «Математика» в 2011-2012 учебном году. (24.02.2009).

Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991.

Потапов, М. К. Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений / М. К. Потапов, А. В. Шевкин / Математика в школе. – №3. – 2005.

Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения

корреспондент РАО А. М. Кондаков, академик РАО Л. П. Кезина)

В. П. Супрун. Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности. – Мн.: «Аверсэв», 2002.

Литература для обучающихся:

Супрун В. П. Нестандартные методы решения задач по математике / Супрун В. П. – Мн.: Полымя, 2000.

Алгебра и математический анализ. 10 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2006

Алгебра и математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2006

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Шенталинская средняя общеобразовательная школа № 1 «Образовательный центр» муниципального района Шенталинский Самарской области

Утверждаю: Согласовано: Рассмотрено:

Директор школы Зам. директора по УВР на заседании М/О учителей

математики и физики

/И.П.Альмендеева/ /Г.П.Ефремова/ Протокол №

От 2010г

Урок алгебры для 11 класса

Степанова Валентина Яковлевна

Шентала 2010 год

Пояснительная записка

Стратегической задачей образовательной политики является - развитие личности школьника и стимулирование его активности, создание условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Актуальность предлагаемого педагогического опыта связана с решением проблемы предпрофессиональной подготовки за счет расширения содержания образования.

Уравнения и неравенства, предлагаемые в КИМах Единого Государственного экзамена, вызывают затруднения, хотя на изучение темы « Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» в 11 классе физико- математического профиля отводится 33 часа.Такое положение объясняется очень большим разнообразием видов уравнений и еще большим количеством способов их решения, недостаточной теоретической подготовкой учащихся и малым количеством времени, уделяемого на решение нестандартных задач на уроке.

дает возможность глубже рассмотреть некоторые разделы, знакомит с новыми способами решения способствовует совершенствованию и развитию математических знаний и умений, способствует формированию интереса к предмету, пониманию роли математики в деятельности человека, решение уравнений, неравенств и систем открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Программа рассчитана на 34 часа классных занятий и проводится в течение всего учебного года.

Цель курса:

создание условий для прочного сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, связанных с решением уравнений, приобщение учащихся к творческой и исследовательской деятельности;

способствовать развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств, необходимых для общей социальной ориентации.

создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

Задачи курса: -

Систематизирование и обобщение теоретических знаний, связанные с понятием рациональные уравнения;

Формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений;

Развитие умений коллективно-познавательного труда, логического и творческого мышления;

Развитие навыков исследовательской деятельности.

Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной переспективы, подготовить учащихся к ЕГЭ.

Содержание программы элективного курса в теоретической части предполагает изучение алгоритма решения нестандартных задач, формулы вычисления. В практическое содержание включены задачи различного уровня сложности с учетом уровня подготовки учащихся.

Эта программа направлена на дальнейшее совершенствование уже усвоенных умений, на формирование углубленных знаний, умение видеть приложение знаний к окружающей действительности, формирует устойчивый интерес учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

В процессе реализации данной программы использованы такие методы обучения :

метод проблемного обучения, с помощью которого учащиеся получают эталон научного мышления;

метод частично-поисковой деятельности, способствующий самостоятельному решению проблемы;

исследовательский метод, который поможет школьникам овладеть способами решения задач нестандартного содержания.

Основными формами организации учебного процесса являются рассказ, беседа, семинар, урок – практикум, индивидуальная работа анализ готовых решений . Часть занятий отводится работе на компьютере (построение графиков). Кроме того, при работе над определенными темами проводятся самостоятельные работы, тестирование.

Предполагаемые результаты:

Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения и неравенства, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения; уметь решать уравнения и неравенства по видам и решать их предлагаемыми способами, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами, выбирать более рациональный способ решения. Применять изученный алгоритм к решению более сложных задач

Содержание курса

Введение (1 ч).

Целые рациональные уравнения (12 ч).

3. Дробно-рациональные уравнения. (8ч.)

Использование области определения функции при решении уравнения. Использование монотонности функции при решении уравнений. Решение задач с помощью построения графиков левой и правой части уравнения или неравенства и «считывания» нужной информации с рисунка. .Метод оценки (мажорант) Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

к рабочей программе элективного курса «Нестандартные способы решения уравнений » 11класс

Приложение.

ТЕМА 1. «Введение »

Методы решения уравнений основаны на понятии равносильности (эквивалентности) уравнений. Два уравнения f1(х) = φ1(х) и f2(х) = φ2(х)называются равносильными (эквивалентными), если множества всех их решений совпадают или если оба уравнения решений не имеют. Значит, если каждый корень первого уравнения является корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого, то уравнения равносильны: f1(х) = φ1(х) ↔ f2(х) = φ2(х).

Определение равносильных уравнений связано только с множествами их решений. Равносильными могут оказаться и уравнения с различными областями допустимых значений неизвестного. Два уравнения могут быть равносильными или неравносильными в зависимости от того, на каком множестве чисел (действительных или комплексных) они рассматриваются. Приведем несколько примеров.

. Уравнения х - 2 = 1 и (х - 2)(х 2 + 1) = х 2 + 1 равносильны на множестве действительных чисел, так как имеют лишь один действительный корень, равный 3. На множестве комплексных чисел они неравносильны, так как второе уравнение, кроме корня, равного 3, имеет еще мнимые корни, равные ± i.

Два уравнения f 1 (х) = φ 1 (х) и f 2 (х) = φ 2 (х) называются равносильными) относительно некоторого множества М (на множестве М), если они имеют на этом множестве одни и те же решения или если оба не имеют решений на этом множестве.

С этой точки зрения, уравнения х 2 - 4 = 0 и х - 2 = 0 равносильны на множестве R + , х-2 = 0 и (х - 2) 2 = 0 равносильны на множестве R, f 2 (х) = ф 2 (х) и f(x) = ф(х) равносильны на множестве М, где f(х) и ф(х) знакопостоянны (сохраняют один и тот же знак, т.е. остаются одновременно положительными или отрицательными).

Если все корни первого уравнения f 1 (х) = ф 1 (х) принадлежат множеству корней уравнения f 2 (х) = ф 2 (х) , то его называют следствием первого уравнения и пишут

f 1 (х) = ф 1 (х) → f 2 (х) = ф 2 (х).

Если по ходу решения от уравнения переходят к его следствию, то необходима проверка корней следствия, в том числе и тех, которые входят в область допустимых значений неизвестного исходного уравнения. Действительно, множеству решений следствия, помимо корней исходного уравнения, могут принадлежать также решения, которые не являются корнями исходного уравнения (например, после возведения в одну и ту же четную степень обеих частей уравнения). Такие решения называются посторонними для исходного уравнения.

ТЕМА 2. Целые рациональные уравнения.

Определение 1. Уравнение f (x) = g(x), где функции f(x) и g(x) заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением.

О.Д.З. этого уравнения – множество всех действительных чисел.Т.к. любое целое рациональное выражение с помощью тождественных преобразований можно представить в виде многочлена, то данное уравнение равносильно уравнению Р(х) = Q (X), где Р(х) и Q(x)– некоторые многочлены с одной переменной х.Перенося Q(x) в левую часть, получим равносильное уравнение Р(х) – Q(x) = 0.

Степень многочлена, стоящего в левой части уравнения, называют степенью целого рационального уравнения.Решение целого рационального уравнения сводится к нахождению корней многочлена, стоящего в левой части уравнения. Многочлен степени n не может иметь более, чем n различных корней, поэтому всякое целое рациональное уравнение степени n имеет не более n корней.

Нам известны формулы нахождения корней линейных и квадратных уравнений. Процесс решения других уравнений заключается в сведении данного уравнения к вышеназванным уравнениям. Для этого применяют два основных метода: 1) разложение на множители, 2) введение новой переменной.

1). Метод разложения на множители.

Теорема 1 . Уравнение f (x)  g(x) = 0 определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений f(x) = 0 и g(x) = 0.

Согласно теореме 1 решение уравнений тесно связано с разложением его левой части на множители. Этот метод позволяет свести решение целого уравнения степени n к решению целых уравнений меньшей степени.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение 2х 3 – 3х 2 – 8х + 12 =0

Решение: Разложим многочлен, стоящий в левой части, на множители методом группировки:

2х 3 – 3х 2 – 8х + 12 = х 2 (2х-3)- 4(2х – 3) = (2х – 3)(х 2 -4).

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению (2х–3)(х 2 -4) =0, которое по теореме1 равносильно совокупности уравнений 2х – 3 =0 и х 2 – 4 =0. Решая их, получим: х 1 = 1,5, х 2 = 2, х 3 = - 2.

Ответ: -2 ; 1,5 ; 2.

ТЕОРЕМА 2. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.

Теорема 3. Если х= - решение уравнения f (x) = 0,

то f (x)=(x-) f 1 (x).

Данное уравнение равносильно совокупности х= и f 1 (x)=0, где f 1 (x)=0 – уравнение степени n-1, т.е. более низкой степени. ПРИМЕР 3. Решить уравнение х 4 – 4х 3 – 13х 2 + 28х +12 =0.

Решение. Делителями свободного члена являются

1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, 12.

По схеме Горнера проверим, нет ли среди этих чисел корней данного уравнения.

Данное уравнение представим в виде: (х-1)(х+3)(х 2 - 5х -2) =0.

Отсюда следует, что х 1 =2, х 2 =-3, х з = , х 4 =
.

ОТВЕТ: х 1 =2, х 2 =-3, х з = , х 4 = .

2).Метод замены переменной.

Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f (x)=0 вводят новую переменную у= q(x) и выражают f(x) через у, получая новое уравнение, решив которое, возвращаются к исходной переменной.

ПРИМЕР 4. Решить уравнение (3х +2) 4 – 13(3х+2) 2 +36 = 0.

Решение. Полагая у= (3х+2) 2 , получим уравнение

У 2 – 13у +36 =0

Находим его корни: у 1 = 4, у 2 = 9, и решаем уравнения

(3х +2) 2 = 4 и (3х +2) 2 = 9

получаем ответ: х 1 = 0, х 2 = - , х 3 = , х 4 = - .

ПРИМЕР 5. Решить уравнение (х+1)(х+2)(х+3)(х+4) = 24

Решение. Раскроем скобки, группируя первый множитель с последним, а второй с третьим: (х 2 + 5х + 4)(х 2 + 5х + 6) = 24.

Полагая х 2 + 5х = у, получим уравнение второй степени (у+4)(у+96)=24,решая которое, получим уравнение у 2 +10у =0, откуда у=0 или у= -10. Возвращаясь к исходной переменной х, получим два уравнения:

х 2 + 5х = 0 и х 2 + 5х = -10.

Первое уравнение имеет корни 0 и -5, второе – корней не имеет, так как его дискриминант D

ОТВЕТ: -5 ; 0.

3)Возвратное уравнение

При решении многих уравнений трудно угадать, какую новую переменную нужно ввести, чтобы упростить уравнение. Поэтому рассматривают различные виды целых рациональных уравнений, для упрощения которых известна подстановка.

К таким уравнениям относятся возвратные уравнения, симметрические уравнения, однородные уравнения.

Возвратные уравнения четвертой степени имеют вид:

ах 4 + вх 3 + сх 2 +вх + а =0.

Введением новой переменной у= х + это уравнение приводится к квадратному.

Аналогично, вводя новую переменную у = х + , можно упрощать уравнения вида

ах 4 + вх 3 + сх 2 + k вх + k 2 а =0. Такие уравнения называют обобщенными возвратными уравнениями четвертой степени.

ПРИМЕР 6. Решить уравнение 3х 4 -2х 3 + 4х 2 -4х + 12 =0

Решение. Это обобщенное возвратное уравнение четвертой степени при к=2, т.к.3х 4 - 2х 3 + 4х 2 - 2∙2х + 3∙2 2 =0.

Так как х=0 не является корнем этого уравнения, то разделим обе части уравнения на х 2 ≠0 и сгруппируем равноотстоящие от концов члены уравнения

,

Положим
=у, тогда
=у 2 , а потому
=у 2 –4, подставим в уравнение, получим квадратное уравнение: 3(у 2 -4) – 2у + 4 =0, откуда находим корни

у 1 = 2, у 2 =- .

Теперь задача свелась к совокупности уравнений:

2 .

Эти уравнения не имеют действительных корней, а, значит, и заданное уравнение не имеет корней.

ОТВЕТ: корней нет.

Возвратное уравнение пятой степени имеет вид: ах 5 + вх 4 +сх 3 + сх 2 + вх + а =0,

Шестой степени: ах 6 + вх 5 + сх 4 + dx 3 +cx 2 +вх + а =0 и т.д.

Леонард Эйлер (1707-1783) доказал, что любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень -1 и после деления такого уравнения на х+1 получается уравнение четной степени, которое тоже будет возвратным. Им же доказано, что каждое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем х= содержит и корень х = .

4) Однородное уравнение

Уравнение вида Р (u ,v)=0 называется однородным уравнением степени k относительно u и v , если Р(u,v) –однородный многочлен степени k. Однородные уравнение степени k относительно u и v Обладает тем свойством, что если разделить все члены уравнения на k-ю степень одной из переменных, то оно превращается в уравнение степени k с одной переменной.

ПРИМЕР 8 . Решить уравнение

(х 2 + х + 1) 3 + 2х 4 (х 2 + х +1) – 3х 6 =0

Решение. Введем новые переменные u = х 2 + х + 1, v= х 2 , получим однородное уравнение u 3 + 2uv 2 3v 3 =0. Проверив, что х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим полученное уравнение на v 3 =x 6 .

Получим уравнение
+ 2
-3 =0.

Положим
, решим уравнение у 3 +2у – 3 =0.

Легко видеть, что у=1 – корень, поэтому, разделив многочлен

у 3 +2у – 3 на (у-1), перейдем к равносильному уравнению

(у-1)(у 2 +у +3) =0, которое имеет единственный действительный корень у=1.

Значит, осталось решить уравнение
.

Решая это уравнение, находим единственный корень х=1.

ОТВЕТ: 1.

5)Применение метода неопределенных коэффициентов при решении уравнений.

Пример 9. Решим уравнение х 4 + х 3 - 4х 2 - 9х - 3 = 0.

Решение: Предположим, что корни уравнения - целые числа, тогда их надо искать среди чисел ±1;±3.

Если х = 1, то
если х = -1, то
если х = 3, то
если х = -3, то

Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.

Попробуем разложить многочленна множители в следующем виде: , где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки:

a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как bd = -3, то будем искать решения среди вариантов:

Проверим вариант № 2, когда b = - 1; d = 3:

а = -2, с =3

Ответ;

Пример 10 . Решить уравнение: х 4 - 15х 2 + 12х + 5= 0.

Решение: Разложим многочлен f(х) = х 4 - 15х 2 + 12х + 5 на множители в следующем виде: , где a, b, c и d -целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как, bd = 5, то будем искать решения среди вариантов:

Системе удовлетворяет вариант №2, т.е а = 3, b = -1, c = -3, d = 5.

Итак,

Ответ:

6) Метод введения параметра

Одним из наиболее распространенных видов приема введения вспомогательной переменной являются различного рода обозначения чисел или числовых выражений с целью упрощения процесса вычислений или придания исходному выражению вида, более удобного для принятия решений.

ПРИМЕР 11. Решить уравнение и найти сумму всех его решений

Х 4 -12 х 2 +16
х – 12 =0

Решение. Если ввести параметр =в, то исходное уравнение примет вид

Х 4 – 6 в 2 х 2 + 8в 3 х – 3в 4 =0,

или после преобразований (х – в) 2 (х 2 +2вх -3в 2)=0

Отсюда легко показать, что данное уравнение имеет два решения и -3 , а их сумма равна -2 .

ОТВЕТ: -2 .

ТЕМА2. Дробно-рациональные уравнения .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение с одной переменной f (x)=g(x), где f(x) и g(x) – рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь, называется дробно-рациональным.

Всякое дробно-рациональное уравнение можно 0

Если для всех действительных х многочлен Q (x)  0, то, учитывая, что дробь равна 0 лишь в том случае, когда ее числитель равен 0, переходим к равносильному целому рациональному уравнению Р(х)=0, найдя все корни которого, мы найдем и корни исходного уравнения.

Если же при некоторых значениях х Q (x)=0 , то уравнение Р(х)=0 является лишь следствием данного уравнения, поэтому все его корни надо подставить в многочлен Q(x) и отбросить те корни, для которых Q(x)=0.

Итак, всякое дробно-рациональное уравнение можно свести к целому рациональному уравнению. Однако не всегда это нужно делать сразу. В некоторых случаях целесообразно вначале применить метод разложения на множители или замены переменной.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ. В обеих частях уравнения неправильные рациональные дроби. Выделим вначале целые части в каждой из дробей и затем перенесем все члены в левую часть:

Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению:

Перенося все члены в левую часть, получим равносильное уравнение

решая которое находим корни х 1 =-1, х 2 =0,25. Так как при этих значениях знаменатель дроби не обращается в ноль, то эти значения х являются корнями исходного уравнения.

ОТВЕТ: -1 ; 0,25.

Пример 2. Решить уравнение:

Заменим это уравнение равносильным ему прибавлением и вычитанием одного и того же выражения

Разложим числитель на множители

корнями которого являются х=±5.

Это уравнение можно решить другим способом, выполнив деление многочлена на многочлен .

Пример 3. Решить уравнение:

Разделив обе части уравнения на , 0 не является решением данного уравнения):

Полагая, что
, получим уравнение (у-3)(у-4)=12; у²-7у=0

корнями которого являются у=0 и у=7.

Значит,
или
. Первое уравнение корней не имеет, а корни второго х=6 и х=1.

Данный пример показывает, что деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение с последующим введением замены позволяет понизить степень уравнения.

Пример 5. Решить уравнение:

Областью допустимых значений данного уравнения являются все числа, удовлетворяющие условию

Тогда,

Пусть

Решая данное дробно-рациональное уравнение, получим корни

Значит, .

Решениями уравнений являются

Пример 6. Решить уравнение:

ОДЗ:

Пусть
t-1.

Выполняя преобразования, данное уравнение приводится к виду

.

Корни этого уравнения
следовательно,

ТЕМА4 Применение свойств функций при решении уравнений

²

1)Использование области определения .

Решите уравнение:.

Решение. Первый радикал определен при 1-х²≥0,т.е. -1≤х≤1.

Второй радикал определен при любых х. Выражение под третьим радикалом неотрицательно, если х²+2х-3≥0 Т е. при х≤-3 и х≥1.

Единственной точкой, в которой определены эти радикалы, является х=1. Легко проверить, что это число – корень уравнения.

Ответ;1

Решите уравнение: .

Решение: 1) выпишем условие существование функции, стоящей в левой части уравнения: . Решить данное неравенство довольно сложно.

2) Проверим правую часть: -1-2х²≥0,2х²≤-1. Последнее неравенство решений не имеет.

3) Значит, исходное уравнение тоже не имеет решений, так как левая часть его –неотрицательная функция.

Ответ: пустое множество.

2 )Использование монотонности

Решить уравнение :

Решение: Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим, удовлетворяют ли функции, образующие уравнение, условиям, при которых можно утверждать, что других корней нет. Сначала рассмотрим . Исследуем ее на монотонность с помощью производной: . Решаем биквадратное уравнение

,

поэтому
при всех значениях х., следовательно, функция f(x)- возрастающая.

Теперь исследуем функцию
. Как легко установить, она убывает при всех значениях х. Из проведенного исследования можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень данного уравнения. Ответ: х=2

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве (f), число a - любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X , тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Доказательство:

Рассмотрим возрастающую функцию f(x) (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию на множестве X существует такое число b , что f(b)=a . Покажем, что b - единственный корень уравнения f(x)=a .

Допустим, что на множестве X есть еще число , такое, что f(c)=a . Тогда или c b , или c > b . Но функция f(x) возрастает на множестве X , поэтому соответственно либо f(c) , либо f(c) > f(b) . Это противоречит равенству f(c)=f(b)=a . Следовательно, сделанное предположение неверно и на множестве X , кроме числа b , других корней уравненияf(x)=a нет.

Опираясь на это утверждение, можем решить уравнение

x 5 = 3 - 2x без чертежа, следуя следующему алгоритму:

заметим, что при x=1 выполняется равенство 1 5 =3-2·1 ,
значит, x=1 – корень уравнения (этот корень мы угадали);

функция у = 3 - 2x убывает, а функция у = x 5 возрастает,
значит, корень у заданного уравнения только один и
этим корнем является значение x=1.

Пример. Решите уравнение:

Решение: в начале запишем уравнение в виде

,

затем воспользуемся теоремой о корне.

Ответ: 5.

3) Метод мажорант

Применим для задач в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенста имеют одну общую точку, являющуюся наибольшим значением одной части и наименьшим значением другой

Для решения таких задач привести уравнение к виду
Сделать оценку у обеих частей. Если существует число М из области значений такое, что f (x)≤M и g(x)≥M, то уравнение заменяем равносильной системой двух уравнений
.

Решить уравнение :

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

а) ,
так как ,х²+4х+13≥9 ,а

б)
, так как
.

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое равенство:

. Ответ;2

Решите уравнение

Решение: Для решенияуравнения оценимего части:
;
/

-сумма единицы и отрицательного числа, поэтому равенство возможно только при условии
/

Сначала решим второе уравнение
,
,

,х²+х=0. Корни этого уравнения х=0 и х=-1.

Проверим справедливость первого равенства, поставив эти корни.

При х=0, получаем верное равенство, при х=-1 –неверное. Значит, данное уравнение имеет единственный корень х=0.